Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx（a，b為常數(shù)，且a≠0），x=1時f（x）有最大值，且函數(shù)g（x）=f（x）-x只有一個零點．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式
（2）求實數(shù)m，n（m＜n），使得f（x）的定義域為[m，n]時，值域是[3m，3n]．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)在x=1時f（x）有最大值，得到拋物線開口向下，且對稱軸為x=1，然后利用函數(shù)g（x）=f（x）-x只有一個零點，解出a，b．
（2）根據(jù)（1）中的解析式，我們分m＜n＜1，m≤1≤n，1＜m＜n三種情況分析討論滿足f（x）的定義域為[m，n]時，f（x）的取值范圍是[3m，3n]的m，n值，最后綜合討論結(jié)果，即可得到答案．

解答：解：（1）因為函數(shù)f（x）=ax²+bx（a，b為常數(shù)，且a≠0），在x=1時，f（x）有最大值，
所以a＜0，對稱軸為x=1，即-

b

2a

=1，所以b=-2a．
g（x）=f（x）-x=ax²+bx-x=ax²+（b-1）x，因為函數(shù)g（x）=f（x）-x只有一個零點．
所以△=（b-1）²=0，解得b=1，a=-

1

2

．
所以f(x)=-

1

2

x2+x．
（2）由（1）則二次函數(shù)的對稱軸為x=1，
①當(dāng)m＜n＜1時，f （x）在[m，n]上單調(diào)遞增，f （m）=3m，f （n）=3n，
所以m，n是-

1

2

x²+x=3x的兩根．
解得m=-4，n=0；         
②當(dāng)m≤1≤n時，3n=

1

2

，解得n=

1

6

．不符合題意；  …10分
③當(dāng)1＜m＜n時，f （x）在[m，n]上單調(diào)遞減，所以f（m）=3n，f（n）=3m．
即-

1

2

m²+m=3n，-

1

2

n²+n=3m．
相減得-

1

2

（m²-n²）+（m-n）=3（n-m）．
因為m≠n，所以-

1

2

（m+n）+1=-3．所以m+n=8．
將n=8-m代入-

1

2

m²+m=3n，
得-m²+m=3（8-m）．但此方程無解．
所以m=-4，n=0時，f （x）的定義域和值域分別是[m，n]和[3m，3n]．…

點評：本題考查了二次函數(shù)解析式的求法，其中（2）中討論區(qū)間[m，n]與對稱軸的關(guān)系，是解答二次函數(shù)問題最常見的思路．