【題目】已知函數(shù)f(x)對任意x，y∈R，總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當x>0時，f(x)<0，f(1)＝－.

(1)求證：f(x)是R上的單調(diào)減函數(shù)．

(2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．

【答案】（1）詳見解析（2）－2

【解析】

（1）本題中，需要證明的是函數(shù)的增減性，則需要回歸定義，從定義出發(fā)，根據(jù)增減性采用合適的拼湊法來進行證明

（2）抽象函數(shù)函數(shù)值的求法需要通過合理賦值求得，需要考慮函數(shù)的增減性。

(1)證明：設x1，x2是任意的兩個實數(shù)，且x1<x2，

則x2－x1>0，因為x>0時，f(x)<0，

所以f(x2－x1)<0，

又因為x2＝(x2－x1)＋x1，

所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]

＝f(x2－x1)＋f(x1)，

所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，

所以f(x2)<f(x1)．

所以f(x)是R上的單調(diào)減函數(shù)．

(2)由(1)可知f(x)在R上是減函數(shù)，

所以f(x)在[－3,3]上也是減函數(shù)，

所以f(x)在[－3,3]上的最小值為f(3)．

而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×＝－2.

所以函數(shù)f(x)在[－3,3]上的最小值是－2.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知四棱錐，底面為矩形， 且側(cè)面平面，側(cè)面平面，為正三角形，

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某支教隊有8名老師，現(xiàn)欲從中隨機選出2名老師參加志愿活動，

（1）若規(guī)定選出的至少有一名女老師，則共有18種不同的需安排方案，試求該支教隊男、女老師的人數(shù)；

（2）在（1）的條件下，記為選出的2位老師中女老師的人數(shù)，寫出的分布列.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在正方體上任意選擇個頂點，然后將它們兩兩相連，則可能組成的幾何圖形為_________（寫出所有正確結論的編號）.

①矩形；②不是矩形的平行四邊形；③有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體；④每個面都是等邊三角形的四面體；⑤每個面都是直角三角形的四面體.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（2）證明：當時，函數(shù)有最小值，設最小值為，求函數(shù)的值域.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設是橢圓 的四個頂點，菱形的面積與其內(nèi)切圓面積分別為， .橢圓的內(nèi)接的重心(三條中線的交點)為坐標原點.

(1)求橢圓的方程；

(2) 的面積是否為定值?若是，求出該定值，若不是，請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）若函數(shù)在內(nèi)有極值，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，對任意，，求證：．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設f(x)="xln" x–ax2+(2a–1)x，aR.

（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）已知f(x)在x=1處取得極大值.求實數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）若有兩個零點，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案