Question

沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開(kāi)始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過(guò)連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱(chēng)為該沙漏的一個(gè)沙時(shí)．如圖，某沙漏由上下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8cm，細(xì)沙全部在上部時(shí)，其高度為圓錐高度的

2

3

（細(xì)管長(zhǎng)度忽略不計(jì)）．
（1）如果該沙漏每秒鐘漏下0.02cm³的沙，則該沙漏的一個(gè)沙時(shí)為多少秒（精確到1秒）？
（2）細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成個(gè)一蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，求此錐形沙堆的高度（精確到0.1cm）．

Answer 1

考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型,函數(shù)的最值及其幾何意義

專(zhuān)題：計(jì)算題,應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）開(kāi)始時(shí)，沙漏上部分圓錐中的細(xì)沙的高為H=

2

3

×8=

16

3

，底面半徑為r=

2

3

×4=

8

3

；從而求時(shí)間；
（2）細(xì)沙漏入下部后，圓錐形沙堆的底面半徑4，設(shè)高為H′，從而得V=

1

3

π×4²×H′=

1024

81

π；從而求高．

解答： 解：（1）開(kāi)始時(shí)，沙漏上部分圓錐中的細(xì)沙的高
為H=

2

3

×8=

16

3

，底面半徑為r=

2

3

×4=

8

3

；
V=

1

3

πr²H=

1

3

π×（

8

3

）²×

16

3

=

1024

81

π≈39.71；
V÷0.02=1986（秒）
所以，沙全部漏入下部約需1986秒．

（2）細(xì)沙漏入下部后，圓錐形沙堆的底面半徑4，設(shè)高為H′，
V=

1

3

π×4²×H′=

1024

81

π；
H′=

64

27

≈2.4；
錐形沙堆的高度約為2.4cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，屬于中檔題．