Question

△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，a=1，B=45°，向量

m

=（-1，1），

n

=（cosBcosC，sinBsinC-

3

2

，且

m

⊥

n

，
（Ⅰ）求A的大小；   
（Ⅱ）求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（I）由

m

⊥

n

，利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式求得cos(B+C)=-

3

2

，再根據(jù)cos（B+C）=-cosA，求得A的值．
（II）由條件求得C=105°，利用兩角和的正弦公式求得cos105°的值，再利用正弦定理求得c的值，可得△ABC的面積

1

2

ac•sinB的值．

解答： 解：（I）∵且

m

⊥

n

，∴

m

•

n

=-cosBcosC+sinBsinC-

3

2

=0，即cosBcosC-sinBsinC=-

3

2

，∴cos(B+C)=-

3

2

．
∵A+B+C=180°，∴cos（B+C）=-cosA，∴cosA=

3

2

，所以A=30°．
（II）∵A=30°，a=1，B=45°，∴C=105°．
又sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°=

6 + 2

4

．
由正弦定理得c=

asinC

sinA

=

1•sin105°

sin30°

=

6 + 2

2

，
∴S△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×1×

6 + 2

2

×

2

2

=

3 +1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，以及正弦定理、兩角和的正弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．