Question

【題目】已知函數(shù).

（1）設(shè)，討論的單調(diào)性；

（2）若不等式恒成立，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）函數(shù)定義域?yàn)?/span>，由題意得，則，分情況和，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求單調(diào)區(qū)間即可；

（2）設(shè)函數(shù)， ，分易知不成立， ，計(jì)算函數(shù)的最大值為，由，得，令， ，求最值即可.

試題解析：

（1）函數(shù)定義域?yàn)?/span>，由題意得，則，

①當(dāng)時(shí)， ，則在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，令，解得，

當(dāng)時(shí)， ， 在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)， ， 在上單調(diào)遞減.

（2）設(shè)函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，

∴， ，

當(dāng)時(shí)， ， 在上是增函數(shù)，∴不可能恒成立，

當(dāng)時(shí)，由，得,

∵不等式恒成立，∴，

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減，

∴當(dāng)時(shí)， 取最大值， ，

∴滿足即可，∴，

∴，

令， ，

.

令， ，

由，得，

當(dāng)時(shí)， ， 是增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)， ， 是減函數(shù)，

∴當(dāng)時(shí)， 取最小值，

∵時(shí)， ， 時(shí)， ， ，

∴當(dāng)時(shí)， ， 是減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)， ， 是增函數(shù)，

∴時(shí)， 取最小值， ，

∴的最小值為.