【題目】已知函數(shù),.

(1)求函數(shù)的單調區(qū)間;

(2)若,且關于的不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)見解析.

(2).

【解析】

(1)確定函數(shù)定義域并求出導數(shù),令,得導數(shù)的零點,根據(jù)導數(shù)的兩零點的與定義域的位置關系,分類討論函數(shù)的單調區(qū)間,即可得出答案;

(2)構造新函數(shù),分兩類情況討論:①當時符合題意;②當時對函數(shù)求導,確定其在定義域范圍最小值 ,又將恒成立,化簡為恒成立,根據(jù)的單調性,確定最小值;由,令函數(shù),根據(jù)其在區(qū)間的單調性確定的范圍;綜合兩種情況即可得出實數(shù)的取值范圍.

解:(1),定義域,

,

,則,,,∵,∴.

①當,時,遞減,遞增.

②當,時,遞增,遞減,遞增.

綜上,當時,的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,

時,的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,.

(2)由題意,令定義域,

①當時,符合題意,

②當時,,令.

,∴,則該方程有兩不同實根,且一正一負,

即存在,使得

可知時,,時,,

,

恒成立 ,即,

上單調遞增,∴

,

,則,故單調遞減,

即為的范圍.

綜上所述,實數(shù)的取值范圍是.

練習冊系列答案
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