Question

【題目】“綠水青山就是金山銀山”，為了保護(hù)環(huán)境，減少空氣污染，某空氣凈化器制造廠，決定投入生產(chǎn)某種惠民型的空氣凈化器．根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗(yàn)得到年生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律如下：①年固定生產(chǎn)成本為2萬(wàn)元；②每生產(chǎn)該型號(hào)空氣凈化器1百臺(tái)，成本增加1萬(wàn)元；③年生產(chǎn)x百臺(tái)的銷售收入（萬(wàn)元）．假定生產(chǎn)的該型號(hào)空氣凈化器都能賣(mài)出（利潤(rùn)＝銷售收入﹣生產(chǎn)成本）．

（1）為使該產(chǎn)品的生產(chǎn)不虧本，年產(chǎn)量x應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

（2）該產(chǎn)品生產(chǎn)多少臺(tái)時(shí)，可使年利潤(rùn)最大？

Answer 1

【答案】（1）100臺(tái)到550臺(tái)之間；（2）年產(chǎn)300臺(tái)時(shí)，可使利潤(rùn)最大

【解析】

（1）由題意，成本函數(shù)為，從而年利潤(rùn)函數(shù)為，要使不虧本，利用分段函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．

（2）利用分段函數(shù)，求得每支上的最大值，即可得到函數(shù)的最大值，得到答案．

（1）由題意得，成本函數(shù)為，

從而年利潤(rùn)函數(shù)為．

要使不虧本，只要L（x）≥0，

①當(dāng)0≤x≤4時(shí)，由L（x）≥0得﹣0.5x2+3x﹣2.5≥0, 解得1≤x≤4，

②當(dāng)x＞4時(shí)，由L（x）≥0得5.5﹣x≥0, 解得4＜x≤5.5

綜上1≤x≤5.5

答：若要該廠不虧本，產(chǎn)量x應(yīng)控制在100臺(tái)到550臺(tái)之間

（2）當(dāng)0≤x≤4時(shí)，L（x）= -0.5(x﹣3)2+2，

故當(dāng)x =3時(shí)，L（x）max=2（萬(wàn)元），

當(dāng)x＞4時(shí)，L（x）＜1.5＜2．

綜上，當(dāng)年產(chǎn)300臺(tái)時(shí)，可使利潤(rùn)最大