Question

已知中心在原點，焦點在X軸上的橢圓C的離心率為e=

2

2

，點M是橢圓上的一點，且點M到橢圓C兩焦點的距離之和為4
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點P（1，-1），傾斜角為45°的直線l與上述橢圓C交于兩點A、B，求|PA|•|PB|

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓的標準方程，根據(jù)離心率求得a和c關(guān)系，進而根據(jù)a求得b，則橢圓的方程可得．
（2）由題意知，直線l的參數(shù)方程，代入橢圓方程聯(lián)立消去x，y，根據(jù)判別式求得t的范圍，最后綜合參數(shù)t的幾何意義最后表示出|PA|•|PB|可確定答案．

解答：解：（1）由題意可設(shè)橢圓C的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
則有

2a=4 c a = 2 2

，解得

a=2 c= 2

，于是b2=2
故所求的橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1
（2）直線l的參數(shù)方程為：

x=1+tcos45° y=-1+tsin45°

(t為參數(shù))，
即為

x=1+ 2 2 t y=-1+ 2 2 t

(t為參數(shù))，將其代入橢圓方程：

x2

4

+

y2

2

=1整理化簡得：3t2-2

2

t-2=0
設(shè)A、B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則有：t1•t2=-

2

3

于是|PA|•|PB|=|t1|•|t2|=|t1•t2|=

2

3

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．此類題綜合性強，要求學(xué)生要有較高地轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想的運用能力，能將已知條件轉(zhuǎn)化到基本知識的運用．