Question

12．已知函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，y=f′（x）是y=f（x）的導(dǎo)數(shù)，且當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f（x）+xf′（x）＜0成立，已知a=f（log₅2）log₃2，b=f（log₅2）log₅2，c=f（2），則a，b，c的大小關(guān)系是（　　）

• A． a＞b＞c
• B． b＞a＞c
• C． c＞a＞b
• D． a＞c＞b

Answer 1

分析 利用函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，可得函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，是偶函數(shù)．令g（x）=xf（x），利用已知當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，可得函數(shù)g（x）在x∈（-∞，0）單調(diào)遞減，進(jìn)而得到函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．再根據(jù)log₂2=1＞log₃2＞log₅2＞0．即可得到a，b，c的大小．

解答 解：∵函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，是偶函數(shù)．
令g（x）=xf（x），則g（x）為奇函數(shù)，
則當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，
∴函數(shù)g（x）在x∈（-∞，0）單調(diào)遞減，
因此函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∵log₂2=1＞log₃2＞log₅2＞0．
∴g（2）＜g（log₃2）＜g（log₅2），
即2f（2）＜f（log₃2）log₃2＜f（log₅2）log₅2，
而f（2）＜2f（2），f（log₅2）log₅2＜f（log₅2）log₃2，
∴c＜b＜a．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握軸對(duì)稱、奇偶函數(shù)的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵．