Question

1．設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），f′（x）在區(qū)間（a，b）上的導(dǎo)函數(shù)為f″（x）．若在（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，則稱函數(shù)f（x）在（a，b）上為“凸函數(shù)“．現(xiàn)給出如下命題：
①區(qū)間（a，b）上的凸函數(shù)f（x）在其圖象上任意一點（x，f（x））處的切線的斜率隨x的增大而減��；
②函數(shù)f（x）=lnx在任意正實數(shù)區(qū)間（a，b）上都是凸函數(shù)；
③若函數(shù)f（x），g（x）都是區(qū)間（a，b）上的凸函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）g（x）也是區(qū)間（a，b）上的凸函數(shù)；
④若在區(qū)間（a，b）上f″（x）＜0恒成立，則對任意x₁，x₂∈（a，b）（x₁≠x₂）都有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$，其中正確命題的序號是①②④（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的凹凸性的定義，函數(shù)的單調(diào)性判斷①②④，舉例判斷③．

解答 解：①因為在區(qū)間（a，b）上，f''（x）＜0恒成立，
所以f'（x）在區(qū)間（a，b）單調(diào)減，所以結(jié)論成立，故①正確；
②f（x）=lnx，f'（x）=$\frac{1}{x}$，f″（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0恒成立，
故在任意正實數(shù)區(qū)間（a，b）上都是凸函數(shù)，故②正確；
③舉反例說明：如：函數(shù)f（x）=-x²，g（x）=-$\frac{1}{x}$在區(qū)間（0，1）都是凸函數(shù)，
但是f（x）•g（x）=x在區(qū)間（0，1）不是凸函數(shù)，③錯誤；
④若在區(qū)間（a，b）上f″（x）＜0恒成立，函數(shù)f（x）在（a，b）上為“凸函數(shù)“．
在其圖象上任意一點（x，f（x））處的切線的斜率隨x的增大而減小，
根據(jù)圖象可知對任意x₁，x₂∈（a，b）（x₁≠x₂）都有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$，故④正確．
故答案為：①②④．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，“凸函數(shù)”的定義．