Question

4．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足$\frac{3sinA}{3cosA-2}$=-tanB，點E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點，則$\frac{BE}{CF}$的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{1}{2}$，1）
• B． （$\frac{1}{4}$，$\frac{7}{8}$）
• C． （$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）
• D． （$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{8}$）

Answer 1

分析 設AB=c，AC=b，BC=a，由商的關系、兩角和的正弦公式、誘導公式化簡已知的等式，由正弦定理將角的關系轉化為邊的關系，由中線長定理求出BE和CF，代入$\frac{BE}{CF}$利用分離常數(shù)法化簡后，由三角形三邊關系求出變量的范圍，由表達式的特點求出$\frac{BE}{CF}$的取值范圍．

解答 解：設AB=c，AC=b，BC=a，
由題意得，$\frac{3sinA}{3cosA-2}$=-tanB，
則$\frac{3sinA}{3cosA-2}$=-$\frac{sinB}{cosB}$，即3sinAcosB=-3cosAsinB+2sinB，
∴3sin（A+B）=2sinB，
由A+B=π-C得，sin（A+B）=sinC，即3sinC=2sinB，
由正弦定理得，3c=2b，即b=$\frac{3}{2}$c，
∵點E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點，
∴由中線長定理得，BE=$\frac{1}{2}\sqrt{2（{a}^{2}+{c}^{2}）-^{2}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{2{a}^{2}-\frac{1}{4}{c}^{2}}$，
CF=$\frac{1}{2}\sqrt{2（{a}^{2}+^{2}）-{c}^{2}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{2{a}^{2}+\frac{7}{2}{c}^{2}}$，
∴$\frac{BE}{CF}$=$\sqrt{\frac{2{a}^{2}-\frac{1}{4}{c}^{2}}{2{a}^{2}+\frac{7}{2}{c}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{2-\frac{1}{4}{（\frac{c}{a}）}^{2}}{2+\frac{7}{2}{（\frac{c}{a}）}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{\frac{15}{4}{（\frac{c}{a}）}^{2}}{2+\frac{7}{2}{（\frac{c}{a}）}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{\frac{15}{4}}{2{（\frac{a}{c}）}^{2}+\frac{7}{2}}}$，
∵a＜b+c且a+c＞b，∴$\frac{1}{2}$c＜a＜$\frac{5}{2}$c，則$\frac{1}{2}＜\frac{a}{c}＜\frac{5}{2}$，
∴$\frac{1}{4}＜（\frac{a}{c}）^{2}＜\frac{25}{4}$，∴$4＜{2（\frac{a}{c}）}^{2}+\frac{7}{2}＜16$，
則$\frac{1}{4}＜\sqrt{1-\frac{\frac{15}{4}}{2{（\frac{a}{c}）}^{2}+\frac{7}{2}}}＜\frac{7}{8}$，
則$\frac{BE}{CF}$的取值范圍是$（\frac{1}{4}，\frac{7}{8}）$，
故選B．

點評 本題考查了商的關系、兩角和的正弦公式、誘導公式，正弦定理、中線長定理，以及三角形三邊大小關系，考查了推理能力、化簡、計算能力，屬于中檔題．