Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{（x+2{）^2}+sinx}}{{{x^2}+4}}$（x∈[-a，a]），則f（x）的最大值和最小值之和是2．

Answer 1

分析 先將函數(shù)化簡(jiǎn)，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的奇偶性，即可求得結(jié)論．

解答 解：f（x）=$\frac{{（x+2{）^2}+sinx}}{{{x^2}+4}}$=1+$\frac{4x+sinx}{{x}^{2}+4}$，
設(shè)g（x）=$\frac{4x+sinx}{{x}^{2}+4}$，
∴g（-x）=$\frac{-4x-sinx}{{x}^{2}+4}$=-g（x），
∴g（x）為奇函數(shù)，x∈[-a，a]，
∴g（x）_max+g（x）_min=0，
∴f（x）_max=1+g（x）_max，f（x）_min=1+g（x）_min，
∴f（x）_max+f（x）_min=1+g（x）_max+1+g（x）_min=2
故答案為：2

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的最大值與最小值，關(guān)鍵構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的奇偶性．