Question

13．設(shè)a，b，c是正整數(shù)，且a∈[70，80），b∈[80，90），c∈[90，100]，當(dāng)數(shù)據(jù)a，b，c的方差最小時(shí)，a+b+c的值為（　　）

• A． 252或253
• B． 253或254
• C． 254或255
• D． 267或268

Answer 1

分析 設(shè)$\overline{x}$=$\frac{a+b+c}{3}$，則數(shù)據(jù)a，b，c的方差s²=$\frac{1}{3}[（a-\overline{x}）^{2}+（b-\overline{x}）^{2}+（c-\overline{x}）^{2}]$≥$\frac{1}{9}$[（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²]，設(shè)a=b+m，c=b+n，則s²≥$\frac{1}{9}$[m²+n²+（m+n）²]，應(yīng)該使得b=85，而當(dāng)m+n=0，-1，1時(shí)，s²有可能取得最小值．

解答 解：設(shè)$\overline{x}$=$\frac{a+b+c}{3}$，
則數(shù)據(jù)a，b，c的方差s²=$\frac{1}{3}[（a-\overline{x}）^{2}+（b-\overline{x}）^{2}+（c-\overline{x}）^{2}]$=$\frac{1}{3}$$[3（\overline{x}-\frac{a+b+c}{3}）^{2}+\frac{（a-b）^{2}+（b-c）^{2}+（a-c）^{2}}{3}]$≥$\frac{1}{9}$[（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²]，
設(shè)a=b+m，c=b+n，
則s²≥$\frac{1}{9}$[m²+n²+（m+n）²]，
取b=85，當(dāng)m+n=0，-1，1時(shí)，s²有可能取得最小值，m=-16，n=15時(shí)，s²取得最小值$\frac{1}{9}（1{6}^{2}+1{5}^{2}）$=$\frac{481}{9}$．
取b=84，當(dāng)m+n=0，-1，1時(shí)，s²有可能取得最小值，m=-15，n=16時(shí)，s²取得最小值$\frac{1}{9}（1{6}^{2}+1{5}^{2}）$=$\frac{481}{9}$．
∴a+b+c=79+85+90=254，或a+b+c=79+84+90=253．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平均數(shù)、方差的有關(guān)計(jì)算，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．