【題目】如圖,已知橢圓C: =1(a>b>0)的離心率為 ,以橢圓C的左頂點T為圓心作圓T:(x+2)2+y2=r2(r>0),設(shè)圓T與橢圓C交于點M與點N.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求 的最小值,并求此時圓T的方程;
(3)設(shè)點P是橢圓C上異于M,N的任意一點,且直線MP,NP分別與x軸交于點R,S,O為坐標(biāo)原點,求證:|OR||OS|為定值.
【答案】
(1)解:依題意,得a=2, ,
∴c= ,b= =1,
故橢圓C的方程為
(2)解:方法一:點M與點N關(guān)于x軸對稱,
設(shè)M(x1,y1),N(x1,﹣y1),不妨設(shè)y1>0.
由于點M在橢圓C上,所以 . (*)
由已知T(﹣2,0),則 , ,
∴
=(x1+2)2﹣
=
= .
由于﹣2<x1<2,
故當(dāng) 時, 取得最小值為 .
由(*)式, ,故 ,
又點M在圓T上,代入圓的方程得到 .
故圓T的方程為: .
方法二:點M與點N關(guān)于x軸對稱,
故設(shè)M(2cosθ,sinθ),N(2cosθ,﹣sinθ),
不妨設(shè)sinθ>0,由已知T(﹣2,0),
則
=(2cosθ+2)2﹣sin2θ
=5cos2θ+8cosθ+3
= .
故當(dāng) 時, 取得最小值為 ,
此時 ,
又點M在圓T上,代入圓的方程得到 .
故圓T的方程為: .
(3)解:方法一:設(shè)P(x0,y0),
則直線MP的方程為: ,
令y=0,得 ,
同理: ,
故 (**)
又點M與點P在橢圓上,
故 , ,
代入(**)式,
得: .
所以|OR||OS|=|xR||xS|=|xRxS|=4為定值.
方法二:設(shè)M(2cosθ,sinθ),N(2cosθ,﹣sinθ),
不妨設(shè)sinθ>0,P(2cosα,sinα),其中sinα≠±sinθ.
則直線MP的方程為: ,
令y=0,得 ,
同理: ,
故 .
所以|OR||OS|=|xR||xS|=|xRxS|=4為定值
【解析】(1)依題意,得a=2, ,由此能求出橢圓C的方程.(2)法一:點M與點N關(guān)于x軸對稱,設(shè)M(x1 , y1),N(x1 , ﹣y1),設(shè)y1>0.由于點M在橢圓C上,故 .由T(﹣2,0),知 = ,由此能求出圓T的方程.
法二:點M與點N關(guān)于x軸對稱,故設(shè)M(2cosθ,sinθ),N(2cosθ,﹣sinθ),設(shè)sinθ>0,由T(﹣2,0),得 = ,由此能求出圓T的方程.(3)法一:設(shè)P(x0 , y0),則直線MP的方程為: ,令y=0,得 ,同理: ,…故 ,由此能夠證明|OR||OS|=|xR||xS|=|xRxS|=4為定值.
法二:設(shè)M(2cosθ,sinθ),N(2cosθ,﹣sinθ),設(shè)sinθ>0,P(2cosα,sinα),其中sinα≠±sinθ.則直線MP的方程為: ,由此能夠證明|OR||OS|=|xR||xS|=|xRxS|=4為定值.
【考點精析】掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解答本題的根本,需要知道圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:;圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程;橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸:,焦點在y軸:.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】電容器充電后,電壓達到100 V,然后開始放電,由經(jīng)驗知道,此后電壓U隨時間t變化的規(guī)律用公式U=Aebt(b<0)表示,現(xiàn)測得時間t(s)時的電壓U(V)如下表:
t(s) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
U(V) | 100 | 75 | 55 | 40 | 30 | 20 | 15 | 10 | 10 | 5 | 5 |
試求:電壓U對時間t的回歸方程.(提示:對公式兩邊取自然對數(shù),把問題轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問題)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:(a>b>0)的左焦點為F,C與過原點的直線相交于A,B兩點,連接AF,BF.若,,cos ∠ABF=,則C的離心率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=3sinx﹣πx,命題p:x∈(0, ),f(x)<0,則( )
A.p是假命題,¬p:?x∈(0, ),f(x)≥0
B.p是假命題,¬p:?x0∈(0, ),f(x0)≥0
C.p是真命題,¬p:?x∈(0, ),f(x)>0
D.p是真命題,¬p:?x0∈(0, ),f(x0)≥0
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ln x-mx+n,m,n∈R.
(1)若函數(shù)f(x)的圖像在點(1,f(1))處的切線為y=2x-1,求m,n的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若n=0,不等式f(x)+m<0對x∈(1,+∞)恒成立,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司經(jīng)營一批進價為每件400元的商品,在市場調(diào)查時發(fā)現(xiàn),此商品的銷售單價x(元)與日銷售量y(件)之間的關(guān)系如下表所示:
x/元 | 500 | 600 | 700 | 800 | 900 |
y/件 | 10 | 8 | 9 | 6 | 1 |
(1)求y關(guān)于x的回歸直線方程.
(2)借助回歸直線方程,預(yù)測銷售單價為多少元時,日利潤最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax3+bx+2在x=2處取得極值-14.
(1)求a,b的值;
(2)若f(x)≥kx在上恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sinx﹣xcosx.
(1)討論f(x)在(0,2π)上的單調(diào)性;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)﹣x2+2πx﹣m=0在(0,2π)有兩個根,求實數(shù)m的取值范圍.
(3)求證:當(dāng)x∈(0, )時,f(x)< x3 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出如下四個說法:
①已知p,q都是命題,若p∧q為假命題,則p,q均為假命題;
②命題“若a>b,則3a>3b-1”的否命題為“若a≤b,則3a≤3b-1”;
③命題“x∈R,x2+1≥0”的否定是“x0∈R,+1<0”;
④“a≥0”是“x0∈R,a+x0+1≥0”的充分必要條件.
其中正確說法的序號是 ( )
A. ①③ B. ②③ C. ②③④ D. ②④
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