【題目】如圖,已知橢圓C: =1(a>b>0)的離心率為 ,以橢圓C的左頂點T為圓心作圓T:(x+2)2+y2=r2(r>0),設(shè)圓T與橢圓C交于點M與點N.

(1)求橢圓C的方程;
(2)求 的最小值,并求此時圓T的方程;
(3)設(shè)點P是橢圓C上異于M,N的任意一點,且直線MP,NP分別與x軸交于點R,S,O為坐標(biāo)原點,求證:|OR||OS|為定值.

【答案】
(1)解:依題意,得a=2, ,

∴c= ,b= =1,

故橢圓C的方程為


(2)解:方法一:點M與點N關(guān)于x軸對稱,

設(shè)M(x1,y1),N(x1,﹣y1),不妨設(shè)y1>0.

由于點M在橢圓C上,所以 (*)

由已知T(﹣2,0),則 ,

=(x1+2)2

=

=

由于﹣2<x1<2,

故當(dāng) 時, 取得最小值為

由(*)式, ,故 ,

又點M在圓T上,代入圓的方程得到

故圓T的方程為:

方法二:點M與點N關(guān)于x軸對稱,

故設(shè)M(2cosθ,sinθ),N(2cosθ,﹣sinθ),

不妨設(shè)sinθ>0,由已知T(﹣2,0),

=(2cosθ+2)2﹣sin2θ

=5cos2θ+8cosθ+3

=

故當(dāng) 時, 取得最小值為 ,

此時 ,

又點M在圓T上,代入圓的方程得到

故圓T的方程為:


(3)解:方法一:設(shè)P(x0,y0),

則直線MP的方程為: ,

令y=0,得 ,

同理:

(**)

又點M與點P在橢圓上,

,

代入(**)式,

得:

所以|OR||OS|=|xR||xS|=|xRxS|=4為定值.

方法二:設(shè)M(2cosθ,sinθ),N(2cosθ,﹣sinθ),

不妨設(shè)sinθ>0,P(2cosα,sinα),其中sinα≠±sinθ.

則直線MP的方程為:

令y=0,得 ,

同理: ,

所以|OR||OS|=|xR||xS|=|xRxS|=4為定值


【解析】(1)依題意,得a=2, ,由此能求出橢圓C的方程.(2)法一:點M與點N關(guān)于x軸對稱,設(shè)M(x1 , y1),N(x1 , ﹣y1),設(shè)y1>0.由于點M在橢圓C上,故 .由T(﹣2,0),知 = ,由此能求出圓T的方程.
法二:點M與點N關(guān)于x軸對稱,故設(shè)M(2cosθ,sinθ),N(2cosθ,﹣sinθ),設(shè)sinθ>0,由T(﹣2,0),得 = ,由此能求出圓T的方程.(3)法一:設(shè)P(x0 , y0),則直線MP的方程為: ,令y=0,得 ,同理: ,…故 ,由此能夠證明|OR||OS|=|xR||xS|=|xRxS|=4為定值.
法二:設(shè)M(2cosθ,sinθ),N(2cosθ,﹣sinθ),設(shè)sinθ>0,P(2cosα,sinα),其中sinα≠±sinθ.則直線MP的方程為: ,由此能夠證明|OR||OS|=|xR||xS|=|xRxS|=4為定值.
【考點精析】掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解答本題的根本,需要知道圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:;圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程;橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸:,焦點在y軸:

練習(xí)冊系列答案
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t(s)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

U(V)

100

75

55

40

30

20

15

10

10

5

5

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x/元

500

600

700

800

900

y/件

10

8

9

6

1

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命題xR,x2+1≥0”的否定是x0R,+1<0”;

a≥0”x0R,a+x0+1≥0”的充分必要條件

其中正確說法的序號是 ( )

A. ①③ B. ②③ C. ②③④ D. ②④

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