Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ln x－mx＋n，m，n∈R.

(1)若函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)(1，f(1))處的切線為y＝2x－1，求m，n的值；

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若n＝0，不等式f(x)＋m<0對(duì)x∈(1，＋∞)恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） ； （2）當(dāng)m≤0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)m>0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，)，單調(diào)遞減區(qū)間是(，＋∞)； （3）[1，＋∞).

【解析】

（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，再由已知切線方程即可得到m，n；

（2求出導(dǎo)數(shù)，討論m的范圍，當(dāng)m≤0時(shí)，當(dāng)m＞0時(shí)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間；

（3）設(shè)g（x）=lnx﹣mx+m，即有g(shù)（x）max＜0在x＞1恒成立．求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，對(duì)m討論，①當(dāng)m≤0時(shí)，②當(dāng)m＞0時(shí)，③當(dāng)≤1即m≥1時(shí)，④當(dāng)＞1即0＜m＜1時(shí)，通過單調(diào)性求得最大值，即可得到m的范圍．

函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)．

(1)∵f′(x)＝－m，∴函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率k＝f′(1)＝1－m＝2，∴m＝－1.又∵f(1)＝1，∴－m＋n＝1，∴n＝0.

(2)∵f′(x)＝－m，當(dāng)m≤0時(shí)，f′(x)>0恒成立，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)m>0時(shí)，由f′(x)>0得0<x<，由f′(x)<0，得x>.綜上所述：當(dāng)m≤0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)m>0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，)，單調(diào)遞減區(qū)間是(，＋∞)．

(3)由f(x)＋m<0得ln x－mx＋m<0在(1，＋∞)上恒成立，設(shè)g(x)＝ln x－mx＋m，即g(x)max<0在(1，＋∞)上成立．g′(x)＝－m，由(2)知，當(dāng)m≤0時(shí)，g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴對(duì)x∈(1，＋∞)，g(x)>g(1)＝0，即f(x)＋m>0(不合題意舍去)．當(dāng)m>0時(shí)，g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.①當(dāng)≤1，即m≥1時(shí)，g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，∴對(duì)x∈(1，＋∞)，g(x)max<g(1)＝0，即f(x)＋m<0，符合題意．②當(dāng)>1，即0<m<1時(shí)，g(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴對(duì)x∈(1，＋∞)，g(x)max＝g>g(1)＝0，不合題意，舍去．綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1，＋∞).