Question

7．如圖，四棱錐P-ABCD，底面ABCD是邊長為2的菱形，$∠ABC=\frac{π}{3}$，且PA⊥平面ABCD．
（Ⅰ）證明：平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）設點E是線段AP的中點，且AE=1，求點E到平面PCD的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用線面垂直的性質(zhì)定理及其PA⊥平面ABCD，可得BD⊥PA，由四邊形ABCD是菱形，可得BD⊥AC，再利用線面面面垂直的性質(zhì)定理即可證明．
（II）設點A到平面PCD的距離為d，利用V_A-PCD=V_P-ACD，可得d，即可得出點E到平面PCD的距離為$\frac{1}{2}$d．

解答 （Ⅰ）證明：PA⊥平面ABCD⇒BD⊥PA，…（2分）
四邊形ABCD是菱形⇒BD⊥AC，…（3分）
又PA∩AC=A，…（4分）
所以BD⊥平面PAC，…（5分）
又BD?平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD．  …（6分）
（Ⅱ）證明：設點A到平面PCD的距離為d，
可求得${S_{△ACD}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{2^2}=\sqrt{3}$，…（7分）
$PD=PC=\sqrt{P{A^2}+A{D^2}}=2\sqrt{2}$，${S_{△PCD}}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{{{（{2\sqrt{2}}）}^2}-{1^2}}=\sqrt{7}$，
由V_A-PCD=V_P-ACD，得$\frac{1}{3}×{S_{△PCD}}×d=\frac{1}{3}×{S_{△ACD}}×PA$，…（10分）
即$\frac{1}{3}×\sqrt{7}×d=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×2$，
所以$d=\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$，
點E到平面PCD的距離為$\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{21}}{7}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．…（12分）

點評 本題考查了空間線面面面位置關系、體積計算公式、三角形面積計算公式、空間距離，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．