15.已知函數(shù)$f(x)=-\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}+({{m^2}-1})x$(x∈R),其中m>0為常數(shù).
(1)當(dāng)m=1時(shí),求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.

分析 (1)根據(jù)m=1,我們易求出f(1)及f′(1)的值,代入點(diǎn)斜式方程即可;
(2)由已知我們易求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)函數(shù)值為0,我們則求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),根據(jù)m>0,我們可將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)區(qū)間,分別在每個(gè)區(qū)間上討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

解答 解:(1)當(dāng)m=1時(shí),f(x)=-$\frac{1}{3}$x3+x2,f′(x)=-x2+2x,故f′(1)=1.
所以曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)的斜率為1,
而f(1)=$\frac{2}{3}$,
故切線(xiàn)方程是:y-$\frac{2}{3}$=x-1,
整理得:y=x-$\frac{1}{3}$;
(2)f′(x)=-x2+2x+m2-1.
令f′(x)=0,解得x=1-m,或x=1+m.
因?yàn)閙>0,所以1+m>1-m.
當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下表:

x(-∞,1-m)1-m(1-m,1+m)1+m(1+m,+∞)
f′(x)-0+0-
f(x)遞減極小值遞增極大值遞減
所以f(x)在(-∞,1-m),(1+m,+∞)內(nèi)是減函數(shù),在(1-m,1+m)內(nèi)是增函數(shù).
函數(shù)的極小值為:f(1-m)=-$\frac{2}{3}$m3+m2-$\frac{1}{3}$;
函數(shù)的極大值為:f(1+m)=$\frac{2}{3}$m3+m2-$\frac{1}{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程,其中根據(jù)已知函數(shù)的解析式求出導(dǎo)函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

5.已知|$\overrightarrow{a}$|=2,向量$\overrightarrow{a}$在向量$\overrightarrow$上的投影為$\sqrt{3}$,則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為( 。
A.$\frac{π}{3}$B.$\frac{π}{6}$C.$\frac{2π}{3}$D.$\frac{π}{2}$

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6.已知點(diǎn)A(0,1),B(-2,1),向量$\overrightarrow e=(1,0)$,則$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow e$方向上的投影為( 。
A.2B.1C.-1D.-2

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3.定義函數(shù)${f_a}(x)={4^x}-(a+1)•{2^x}+a$,其中x為自變量,a為常數(shù).
(I)若當(dāng)x∈[0,2]時(shí),函數(shù)fa(x)的最小值為一1,求a之值;
(II)設(shè)全集U=R,集A={x|f3(x)≥fa(0)},B={x|fa(x)+fa(2-x)=f2(2)},且(∁UA)∩B≠∅中,求a的取值范圍.

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10.橢圓的中心在原點(diǎn),長(zhǎng)軸在x軸上,一焦點(diǎn)與短軸的兩端點(diǎn)的連線(xiàn)互相垂直,焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸上較近頂點(diǎn)的距離為$4({\sqrt{2}-1})$,則此橢圓的方程是( 。
A.$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{32}=1$B.$\frac{x^2}{32}+\frac{y^2}{4}=1$C.$\frac{x^2}{32}+\frac{y^2}{16}=1$D.$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{32}=1$

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20.若直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a-2,-1)和(-a-2,1),且與直線(xiàn)2x+3y+1=0垂直,則實(shí)數(shù)a的值為( 。
A.-$\frac{2}{3}$B.-$\frac{3}{2}$C.$\frac{2}{3}$D.$\frac{3}{2}$

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7.如圖,網(wǎng)格上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線(xiàn)畫(huà)出的是一個(gè)三棱錐的三視圖,該三棱錐的外接球的體積記為V1,俯視圖繞底邊AB所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積記為V2,則V1:V2( 。
A.4$\sqrt{2}$B.2$\sqrt{2}$C.4D.2

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4.在銳角△ABC中,a,b,c分別是A,B,C的對(duì)邊,a=2bsinA.
(1)求B的大;
(2)若a=$\sqrt{2}$,b=1,求A的大小.

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18.有下面四個(gè)命題:
①若$\lim_{n→∞}a_n^2={A^2}$,則$\lim_{n→∞}{a_n}=A$;
②若an>0,$\lim_{n→∞}{a_n}=A$,則A>0;
③若$\lim_{n→∞}{a_n}=A$,則$\lim_{n→∞}a_n^2={A^2}$;
④若$\lim_{n→∞}({a_n}-{b_n})=0$,則$\lim_{n→∞}{a_n}=\lim_{n→∞}{b_n}$;
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( 。
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

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