【題目】如圖， ， 為中點(diǎn)，且平面， .已知.

（1）求直線與所成角；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由且平面，建立以為原點(diǎn)， 為軸正方向， 為軸正方向， 為軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，再根據(jù)，得出與，從而可求出直線與所成角；（2）分別求出平面和平面的一個(gè)法向量，求出兩法向量所成角的余弦值，可得二面角的余弦值.

試題解析：（1）因?yàn)?/span>且平面，則以為原點(diǎn)， 為軸正方向， 為軸正方向， 為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

∵

∴， ， ， ， ， ，且， .

∴， .

∴和的夾角為.

（2）平面的法向量，設(shè)平面的法向量.

由， 且， ，

得，則，解得，

取，則.

∵二面角為銳二面角，記為

∴.

點(diǎn)晴：本題主要考查利用空間向量求二面角，利用空間向量求異面直線所成的角，屬于難題. 空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，正半軸為極軸，取相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求直線和曲線的直角坐標(biāo)方程，并指明曲線的形狀；

（2）設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知多面體ABC﹣A1B1C1中，AA1，BB1，CC1均垂直于平面ABC，AB⊥AC，AA1＝4，CC1＝1，AB＝AC＝BB1＝2．

（Ⅰ）求證：A1C⊥平面ABC1；

（Ⅱ）求二面角B﹣A1B1﹣C1的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)命題p：x0∈（1，+∞），使得5+|x0|=6．q：x∈（0，+∞），+81x≥a．

（1）若a=9，判斷命題￢p，p∨q，（￢p）∧（￢q）的真假，并說(shuō)明理由；

（2）設(shè)命題r：x0∈R，x02+2x0+a-9≤0判斷r成立是q成立的什么條件，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為，動(dòng)點(diǎn)M（2，t）（）.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求以OM為直徑且截直線所得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程；

（3）設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點(diǎn)N，證明線段ON的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)專著，是“算經(jīng)十書(shū)”中最重要的一種。在其第七章中有如下問(wèn)題：“今有蒲生一日，長(zhǎng)三尺，莞生一日，長(zhǎng)一尺，蒲生日自半，莞生日自倍，問(wèn)幾何日而長(zhǎng)等？”意思是植物蒲發(fā)芽的第一天長(zhǎng)高三尺，植物莞發(fā)芽的第一天長(zhǎng)高一尺。蒲從第二天開(kāi)始每天生長(zhǎng)速度是前一天的一半，莞從第二天開(kāi)始每天生長(zhǎng)速度為前一天的兩倍。問(wèn)這兩種植物在何時(shí)高度相同？

在此問(wèn)題中，蒲和莞高度相同的時(shí)刻在( )

A. 第二天 B. 第三天 C. 第四天 D. 第五天

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為.

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若以點(diǎn)為圓心的圓在軸上截得的弦長(zhǎng)均為4，求證：圓恒過(guò)定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在正方體中，，分別是棱，的中點(diǎn)，為棱上一點(diǎn)，且平面.

（1）證明：為中點(diǎn)；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，正方形中， ， 與交于點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起得到三棱錐， ， 分別是， 的中點(diǎn).

(1)求證： ；

(2)若三棱錐的最大體積為，當(dāng)三棱錐的體積為，且二面角為銳角時(shí)，求二面角的正弦值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案