已知函數(shù)f(x)=
1,x是有理數(shù)
0,x是無理數(shù)
,下列命題是真命題的是
 
(只填命題序號).
①函數(shù)f(x)是偶函數(shù);②對任意x∈R,f(x+
2
)=f(x);
③對任意x∈R,f(x+2)=f(x);
④對任意x,y∈R,f(x+y)=
1
2
(f(x)+f(x));
⑤若存在x,y∈R,使得f(x+y)=f(x)+f(y),則x,y都為無理數(shù).
考點:分段函數(shù)的應(yīng)用
專題:計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯
分析:由題意討論x,y是有理數(shù)還是無理數(shù),從而確定5個命題的真假.
解答: 解:∵當(dāng)x是有理數(shù)時,-x也是有理數(shù),
∴f(-x)=f(x)=1;
又∵當(dāng)x是無理數(shù)時,-x也是無理數(shù),
∴f(-x)=f(x)=0;
故函數(shù)f(x)是偶函數(shù),故①正確;
取x=0,則f(0)=1,f(
2
)=0;故②不正確;
當(dāng)x是有理數(shù)時,x+2也是有理數(shù),
當(dāng)x是無理數(shù)時,x+2也是無理數(shù),
故對任意x∈R,f(x+2)=f(x)成立,故③正確;
取x=0,y=
2
,則f(x+y)=0,
1
2
(f(x)+f(x))=
1
2
,故④不正確;
若x,y都是有理數(shù),則f(x+y)=1,f(x)+f(y)=2;
若x,y是有理數(shù)和無理數(shù),則f(x+y)=0,f(x)+f(y)=1;
若x,y都為無理數(shù),則f(x+y)=f(x)+f(y)或f(x+y)=1,f(x)+f(y)=0;
故⑤正確;
故答案為:①③⑤.
點評:本題考查了學(xué)生對分段函數(shù)的掌握及命題的真假性的判斷,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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過雙曲線
x2
9
-
y2
18
=1的焦點作弦MN,若|MN|=48,則此弦的傾斜角為(  )
A、30°
B、60°
C、30°或150°
D、60°或120°

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設(shè)中心在坐標(biāo)原點,以坐標(biāo)軸為對稱軸的圓錐曲線C,離心率為
2
,且過點(5,4),則其焦距為( 。
A、6
2
B、6
C、5
2
D、5

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已知△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A(0,0),B(2,2),C(0,c),若
AB
BC
,那么c的值是(  )
A、-1B、3C、-3D、4

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根據(jù)下圖畫出下圖的直觀圖.

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函數(shù)f(x)=(1+x-
x2
2
+
x3
3
-
x4
4
+…-
x2012
2012
+
x2013
2013
)•sin2x在區(qū)間[-3,3]上的零點的個數(shù)為( 。
A、3B、4C、5D、6

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