Question

【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx - .

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)證明:當(dāng)x>1時,f(x)<x-1;

(3)確定實數(shù)k的所有可能取值,使得存在x0>1,當(dāng)x∈(1,x0)時,恒有f(x)>k(x-1).

Answer 1

【答案】(1) (0, ) (2)見解析(3) (-∞,1)

【解析】試題分析：（1）求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）構(gòu)造函數(shù) ，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)利用單調(diào)性的最大值為 ，從而可得結(jié)論；（3）根據(jù)（2）可得， 不合題意， 不合題意，當(dāng) 時利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，可得時，符合題意.

試題解析：(1)解:f′(x)= -x+1=,x∈(0,+∞),

由f′(x)>0,得

解得0<x<.

故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0, ).

(2)證明:令F(x)=f(x)-(x-1),x∈(0,+∞),

則F′(x)= .

當(dāng)x∈(1,+∞)時,F′(x)<0,

所以F(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,

故當(dāng)x>1時,F(x)<F(1)=0,即當(dāng)x>1時,f(x)<x-1.

(3)解:由(2)知,當(dāng)k=1時,不存在x0>1滿足題意.

當(dāng)k>1時,對于x>1,有f(x)<x-1<k(x-1),

則f(x)<k(x-1),

從而不存在x0>1滿足題意.

當(dāng)k<1時,令G(x)=f(x)-k(x-1),x∈(0,+∞),

則G′(x)= -x+1-k=,

由G′(x)=0得,-x2+(1-k)x+1=0,

解得x1=<0, x2=>1.

當(dāng)x∈(1,x2)時,G′(x)>0,故G(x)在[1,x2)內(nèi)單調(diào)遞增,從而當(dāng)x∈(1,x2)時,G(x)>G(1)=0,即f(x)>k(x-1),

綜上,k的取值范圍是(-∞,1).