Question

已知函數f（x）=lnx-a（x-1），g（x）=e^x．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）過原點分別作函數f（x）與g（x）的切線，且兩切線的斜率互為倒數，a∈[n，n+1]，n∈Z，求n的值；
（Ⅲ）求證：（1+

2

2×3

）（1+

4

3×5

）（1+

8

5×9

）…[1+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

]與e的大小，并證明你的結論（其中n∈N^*，e是自然對數的底數．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,證明題,導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求函數的導數即可求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）根據導數的幾何意義，求出切線的斜率，建立條件關系即可得到結論；
（Ⅲ）利用ln（x+1）≤x在[0，+∞）上恒成立，利用此不等式對所要證明的不等式進行放縮，從而進行證明．

解答： （1）解：f′（x）=

1

x

-a（x＞0），
①當a≤0時，f'（x）＞0，增區(qū)間是（0，+∞）；
②當a＞0時，增區(qū)間是（0，

1

a

），減區(qū)間是（

1

a

，+∞）；
（2）解：設g（x）的切點（x₁，y₁），f（x）的切點（x₂，y₂），
g′（x₁）=ex1=

y1

x1

，y₁=ex1，解得x₁=1，y₁=e，k=e，
f′（x₂）=

1

x2

-a=

1

e

=

y2

x2

，y₂=lnx₂-a（x₂-1），
∴

1

x2

-a=

lnx2-a(x2-1)

x2

，
∴l(xiāng)nx₂=1-a，∴x₂=e^1-a，代入

1

x2

-a=

1

e

，得e^a-ae-1=0，
令p（a）=e^a-ae-1，p'（a）=e^a-e，
p（a）在（-∞，1）遞減，在（1，+∞）上遞增，
當a∈（-∞，1）時，
∵p（0）=0，∴a=0；
當a∈（1，+∞）時，p（1）=-1＜0，p（2）=e²-2e-1＞0，所以1＜a＜2，
綜上a=0或1＜a＜2，即有n=0或1．
（Ⅲ）（1+

2

2×3

）（1+

4

3×5

）（1+

8

5×9

）…[1+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

]＜e．
證明：令h（x）=ln（1+x）-x（x＞0），則h′（x）=

1

x+1

-1＜0，
則h（x）在x＞0時為減函數，則h（x）＜h（0）=0，即有l(wèi)n（1+x）＜x，
又

2n

(2n-1+1)(2n+1)

=2（

1

2n-1+1

-

1

2n+1

）
則ln{（1+

2

2×3

）（1+

4

3×5

）（1+

8

5×9

）…[1+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

]}
=ln（1+

2

2×3

）+ln（1+

4

3×5

）+ln（1+

8

5×9

）+…+ln[1+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

]
＜

2

2×3

+

4

3×5

+…+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

=2（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1+1

-

1

2n+1

）
=2（

1

2

-

1

2n+1

）＜1，
則有（1+

2

2×3

）（1+

4

3×5

）（1+

8

5×9

）…[1+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

]＜e．

點評：本題主要考查函數的單調區(qū)間的求解，以及導數的幾何意義，考查導數的基本運算，考查不等式的證明要借助所給函數構造不等式，利用它進行放縮證明，本題難度比較大，是一道綜合題．