如圖，平行四邊形ABCD中，E、F分別是AD，AB的中點，G為BE與DF的交點．若
AB
=a，
AD
=b．
（1）試以a，b為基底表示
BE
，
DF
；
（2）求證：A，G，C三點共線．
考點：平面向量的基本定理及其意義,平行向量與共線向量
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：（1）根據(jù)向量的減法及數(shù)乘的幾何意義即可得到
BE
=
1
2
AD
-
AB
=
1
2
b
-
a
，同樣的辦法表示出
DF
即可；
（2）先根據(jù)D，G，F(xiàn)三點共線及共線向量基本定理便可得到，存在實數(shù)k使得：
AG
=
k
2
AB
+(1-k)
AD
，同理根據(jù)B，G，E三點共線可得到
AG
=
m
2
AD
+(1-m)
AB
．所以根據(jù)平面向量基本定理可得到k=
2
3
，從而得到
AG
=
1
3
AC
，所以便證出了A，G，C三點共線．
解答： 解：（1）
BE
=
AE
-
AB
=
1
2
b
-
a
，
DF
=
AF
-
AD
=
1
2
a
-
b
；
（2）D，G，F(xiàn)三點共線，所以存在實數(shù)k，使得：
DG
=k
DF
；
∴
AG
-
AD
=k
AF
-k
AD
；
∴
AG
=k
AF
+(1-k)
AD
=
k
2
AB
+(1-k)
AD
；
同理，由B，G，E三點共線可得存在實數(shù)m，使得：
AG
=
m
2
AD
+(1-m)
AB
；
∴根據(jù)平面向量基本定理得：
k
2
=1-m
1-k=
m
2
；
解得，k=
2
3
；
∴
AG
=
1
3
(
AB
+
AD
)=
1
3
AC
；
∴
AG
，
AC
共線；
∴A，G，C三點共線．
點評：考查向量減法及數(shù)乘的幾何意義，以及共線向量基本定理，平面向量基本定理．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知i是虛數(shù)單位，a，b∈R，a+bi=
3+i
1-i
，則a+b等于（　�。�
A、-1B、1C、3D、4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

由定積分的性質(zhì)和幾何意義，說明下列各式的值：
（1）
∫
a
-a
a2-x2
dx；                   
（2）
∫
1
0
[
1-(x-1)2
-x]dx．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知凼數(shù)f（x）=
lnx
x+a
（a∈R），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=x-1
（1）求實數(shù)a的值，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）是否存在k∈Z，使得kx＞f（x）+2對任意x＞0恒成立？若存在，求出k的最小值，若不存在，請說明理由
（3）試比較20142015與20152014的大小，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=x2+ax在（
1
2
，+∞）上是增函數(shù)，則a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=2sinx（
π
2
≤x≤
5π
2
）與函數(shù)y=2，x∈R的圖象組成一個封閉圖形，則這個封閉圖形面積是多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-ax-alnx（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求a的值．
（2）在（1）的條件下，求證：f（x）≥-
x3
3
+
5x2
2
-4x+
11
6
；
（3）當x∈[e，+∞），f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2-bx+1的零點為-
1
2
，
1
3
，則a為
 
．b為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

畫出函數(shù)y=sin（
x
2
+
π
3
），x∈[-2π，2π]的圖象．

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