Question

由定積分的性質(zhì)和幾何意義，說(shuō)明下列各式的值：
（1）

∫

a -a

a2-x2

dx；                   
（2）

∫

1 0

[

1-(x-1)2

-x]dx．

Answer 1

考點(diǎn)：定積分

專題：計(jì)算題,選作題

分析：（1）根據(jù)定積分定義直接計(jì)算即可；
（2）將定積分分為兩個(gè)積分的和，再分別求出定積分，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）

∫

a -a

a2-x2

dx表示以（0，0）為圓心，以

.

a

.

為半徑的圓的面積的一半，
即

∫

a -a

a2-x2

dx=

π

2

a²．
（2）

∫

1 0

[

1-(x-1)2

-x]dx=

∫

1 0

1-(x-1)2

dx+

∫

1 0

(-x)dx   …（*）
∵

∫

1 0

1-(x-1)2

dx表示以（1，0）為圓心，以1為半徑的圓的面積的四分之一．
∴

∫

1 0

1-(x-1)2

dx=

π

4

．
故（*）的值為

π

4

+

∫

1 0

d(-

x2

2

)=

π

4

-

1

2

．
故

∫

1 0

[

1-(x-1)2

-x]dx=

π

4

-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查定積分的幾何意義，考查定積分的計(jì)算，考查定積分的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．