Question

6．已知F₁、F₂是橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1與雙曲線C₂的兩個(gè)公共焦點(diǎn)，P是C₁，C₂一個(gè)公共點(diǎn)．若$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，則C₂的離心率是$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 由橢圓方程，求得其焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)橢圓及雙曲線的定義，且∠F₁PF₂=90°，利用勾股定理求得a的值，利用雙曲線的離心率公式，即可求得C₂的離心率．

解答 解：橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，焦點(diǎn)在x軸上，c=$\sqrt{3}$，則|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
∵|PF₂|+|PF₁|=4，|PF₂|-|PF₁|=2a，
∴|PF₂|=2+a，|PF₁|=2-a，
由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，則∠F₁PF₂=90°，
∴|AF₁|²+|AF₂|²=|F₁F₂|²，
則（2-a）²+（2+a）²=（2$\sqrt{3}$）²，
∴a=$\sqrt{2}$，
∴離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴C₂的離心率$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓及雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)及定義，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．