Question

8．已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠ADC=120°，AD的中點M是頂點P的底面ABCD的射影，N是PC的中點．
（Ⅰ）求證：平面MPB⊥平面PBC；
（Ⅱ）若MP=MC，求直線BN與平面PMC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明BC⊥平面PMB，即可證明：平面MPB⊥平面PBC；
（Ⅱ）過B作BH⊥MC，連接HN，證明∠BNH為直線BN與平面PMC所成的角，即可求直線BN與平面PMC所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）證明：在菱形ABCD中，設AB=2a，M是AD的中點，
MB²=AM²+AB²-2AM•AB•cos60°=3a²，MC²=DM²+DC²-2DM•DC•cos120°=7a²．
又∵BC²=4a²，∴MB²+BC²=MC²，∴MB⊥BC，
又∵P在底面ABCD的射影M是AD的中點，∴PM⊥平面ABCD，
又∵BC?平面ABCD，∴PM⊥BC，
而PM∩MB=M，PM，MB?平面PMB，∴BC⊥平面PMB，
又BC?平面PBC，∴平面MPB⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：過B作BH⊥MC，連接HN，
∵PM⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴BH⊥PM，
又∵PM，MC?平面PMC，PM∩MC=M，∴BH⊥平面PMC，
∴HN為直線BN在平面PMC上的射影，
故∠BNH為直線BN與平面PMC所成的角，
在△MBC中，$BH=\frac{{2a•\sqrt{3}a}}{{\sqrt{7}a}}=\frac{{2\sqrt{21}}}{7}a$
由（Ⅰ）知BC⊥平面PMB，PB?平面PMB，∴PB⊥BC．
$BN=\frac{1}{2}PC=\frac{{\sqrt{14}}}{2}a$，
∴$sin∠BNH=\frac{BH}{BN}=\frac{{\frac{{2\sqrt{21}}}{7}a}}{{\frac{{\sqrt{14}}}{2}a}}=\frac{{2\sqrt{6}}}{7}$．

點評 本題考查線面垂直、面面垂直的證明，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．