Question

設(shè)非常數(shù)數(shù)列{a_n}滿足a_n+2＝，n∈N*，其中常數(shù)α，β均為非零實數(shù)，且α＋β≠0.
（1）證明：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列的充要條件是α＋2β＝0；
（2）已知α＝1，β＝， a₁＝1，a₂＝，求證：數(shù)列{| a_n＋1－a_n－1|} (n∈N*，n≥2)與數(shù)列{n＋} (n∈N*)中沒有相同數(shù)值的項.

Answer 1

（1）等差數(shù)列的定義的運用，主要是根據(jù)相鄰兩項的差為定值來證明即可。
（2）由已知得，可知數(shù)列(n∈N*)為等比數(shù)列，進而得到，然后結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)來得到。

試題分析：（1）解：已知數(shù)列，.
①充分性：若，則有，得
，所以為等差數(shù)列.                       4分
②必要性：若為非常數(shù)等差數(shù)列，可令(k≠0). 代入
，得.
化簡得，即.                          
因此，數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列的充要條件是α＋2β＝0.                     8分
（2）由已知得.                               10分
又因為，可知數(shù)列(n∈N*)為等比數(shù)列，所以 (n∈N*).
從而有n≥2時， ，.
于是由上述兩式，得 （）.                12分
由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，對于任意n≥2，| a_n＋1－a_n－1|＝·≤·＝.
所以，數(shù)列中項均小于等于.
而對于任意的n≥1時，n＋≥1＋＞，所以數(shù)列{n＋}(n∈N*)中項均大于.
因此，數(shù)列與數(shù)列{n＋}(n∈N*)中沒有相同數(shù)值的項.
16分
點評：解決的關(guān)鍵是對于概念的準確運用，以及利用函數(shù)的性質(zhì)來證明數(shù)列之間的關(guān)系。屬于中檔題。