Question

已知直線l的方程為y=

3

x-2

3

，又直線l過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的
右焦點(diǎn)，且橢圓的離心率為

6

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)D（0，1）的直線與橢圓C交于點(diǎn)A，B，求△AOB的面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）判斷橢圓的焦點(diǎn)為直線l與x軸的交點(diǎn)，求出橢圓的焦點(diǎn)為（2，0）結(jié)合橢圓的離心率，求出a、b，即可求解橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)直線AB方程為y=kx+1，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線與橢圓分得到方程組，利用韋達(dá)定理與距離公式求出三角形的面積表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)通過好的導(dǎo)數(shù)求解面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵a＞b，∴橢圓的焦點(diǎn)為直線l與x軸的交點(diǎn)，
∵直線l與x軸的交點(diǎn)為（2，0），∴橢圓的焦點(diǎn)為（2，0），∴c=2，…（1分）
又∵e=

c

a

=

6

3

，∴a=

6

，∴b²=a²-c²=2…（3分）
∴橢圓方程為

x2

6

+

y2

2

=1．…（4分）
（Ⅱ） 直線AB的斜率顯然存在，設(shè)直線AB方程為y=kx+1
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx+1 x2 6 + y2 2 =1

，得（3k²+1）x²+6kx-3=0，
顯然△＞0，x1+x2=

-6k

3k2+1

，x1•x2=

3

3k2+1

…（6分）點(diǎn)D（0，1），|OD|=1，S△AOB=S△AOD+S△BOD=

1

2

|OD||x1-x2|=

1

2

(x1+x2)2-4x1x2

…（8分）
=

1

2

36k2 (3k2+1)2 + 12 3k2+1

=

3

6k2+1 (3k2+1)2

=

3

2(3k2+1)-1 (3k2+1)2

=

3

2 3k2+1 - 1 (3k2+1)2

…（10分）
令t=

1

3k2+1

，則t∈（0，1]，
S△AOB=

3

-t2+2t

=

3

-(t-1)2+1

，g'（x）=0，即k=0時，
∵g(x1)-g(x2)=[lnx1+

1

2

x

2 1

-(b-1)x1]-[lnx2+

1

2

x

2 2

-(b-1)x2]的最大值為

3

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，難度比較大，考查分析問題解決問題的能力．