Question

6．已知拋物線C：y=$\frac{1}{2}$x²，直線l：y=x-1，設(shè)P為直線l上的動點，過點P作拋物線的兩條切線，切點分別為A、B
（Ⅰ）當點P在y軸上時，求線段AB的長；
（Ⅱ）求證：直線AB恒過定點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)A（x₁，$\frac{1}{2}$x₁²），B（x₂，$\frac{1}{2}$x₂²），求得函數(shù)的導數(shù)，可得切線的斜率，進而得到切線的方程，代入（0，-1），求得切點坐標，進而得到|AB|；
（Ⅱ）設(shè)P（x，y），由切線的方程求得P的坐標，設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，代入拋物線的方程，運用韋達定理，可得P的坐標，再由P在直線y=x-1，由直線恒過定點的方法，即可得到定點（1，1）．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)A（x₁，$\frac{1}{2}$x₁²），B（x₂，$\frac{1}{2}$x₂²），
y=$\frac{1}{2}$x²的導數(shù)為y′=x，
以A為切點的切線方程為y-$\frac{1}{2}$x₁²=x₁（x-x₁），
整理得y=x₁x-$\frac{1}{2}$x₁²，
同理，以B為切點的切線方程為y=x₂x-$\frac{1}{2}$x₂²，
代入P（0，-1），得x₁²=x₂²=2（x₁x₂＜0），
可得|AB|=|x₁-x₂|=2$\sqrt{2}$；                                             
（Ⅱ）證明：設(shè)P（x，y），由（Ⅰ）得
$\left\{\begin{array}{l}{y={x}_{1}x-\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}}\\{y={x}_{2}x-\frac{1}{2}{{x}_{2}}^{2}}\end{array}\right.$可得P（$\frac{{x}_{2}+{x}_{1}}{2}$，$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{2}$），
由已知直線AB的斜率必存在，設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}}\end{array}\right.$，可得x²-2kx-2b=0，
即有x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2b，可得P（k，-b），
由P在直線y=x-1上，可得b=1-k，
則直線AB的方程為y=kx+（1-k），即k（x-1）-y+1=0，
則直線AB過定點（1，1）．

點評 本題考查拋物線的方程的運用，注意聯(lián)立直線方程運用韋達定理，同時考查切線方程的求法，注意運用導數(shù)的幾何意義，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．