Question

17．已知函數(shù)f（x）=|x-2|+|2x+a|，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，解不等式f（x）≥5；
（Ⅱ）若存在x₀滿足f（x₀）+|x₀-2|＜3，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，根據(jù)絕對值不等式的解法即可解不等式f（x）≥5；
（Ⅱ）求出f（x）+|x-2|的最小值，根據(jù)不等式的關(guān)系轉(zhuǎn)化為（f（x）+|x-2|）_min＜3即可求a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|x-2|+|2x+1|，．
由f（x）≥5得x-2|+|2x+1|≥5．
當(dāng)x≥2時(shí)，不等式等價(jià)于x-2+2x+1≥5，解得x≥2，所以x≥2；    …（1分）
當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜x＜2時(shí)，不等式等價(jià)于2-x+2x+1≥5，即x≥2，所以此時(shí)不等式無解；…（2分）
當(dāng)x≤-$\frac{1}{2}$時(shí)，不等式等價(jià)于2-x-2x-1≥5，解得x≤-$\frac{4}{3}$，所以x≤-$\frac{4}{3}$．…（3分）
所以原不等式的解集為（-∞，-$\frac{4}{3}$]∪[2，+∞）．…（5分）
（Ⅱ）f（x）+|x-2|=2|x-2|+|2x+a|=|2x-4|+|2x+a|≥|2x+a-（2x-4）|=|a+4|…（7分）
因?yàn)樵�命題等價(jià)于（f（x）+|x-2|）_min＜3，…（9分）
所以|a+4|＜3，所以-7＜a＜-1為所求實(shí)數(shù)a的取值范圍．…（10分）

點(diǎn)評 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)絕對值不等式的解法，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行討論是解決本題的關(guān)鍵．