【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求在處的切線方程;
(2)對(duì)于任意,恒成立,求的取值范圍;
(3)試討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【答案】(1)(2)(3)解答見解析
【解析】
(1)由題意,當(dāng)時(shí),可得,求得,且,利用點(diǎn)斜式方程,即可求解;
(2)由,恒成立,轉(zhuǎn)化為即在上恒成立,令,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可求解;
(3)由,得到則,令,得到,對(duì)分類討論,即可求解.
(1)由題意,當(dāng)時(shí),函數(shù),
則,可得,且,
所以在處的切線方程.
(2)由,恒成立,
即在上恒成立,
令,則,
當(dāng),即時(shí),在上恒成立,
所以在上單調(diào)遞增,所以,
當(dāng),即時(shí),令,得(舍去).
- | 0 | + | |
所以當(dāng)時(shí),,不符合題意.
綜上可得,,即的取值范圍.
(3)由,
則,
令,則,
①當(dāng),即時(shí),恒成立,∴在上單調(diào)遞增,
且,.
由零點(diǎn)存在性定理可知在上存在唯一的零點(diǎn),不妨設(shè)為.
- | 0 | + | |
極小值 |
所以函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn);
②當(dāng),即時(shí),令,則.
- | 0 | + | |
極小值 |
所以函數(shù)的最小值為.
1*)當(dāng),即時(shí),恒成立,
令,
由,得,
∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,得,
∴,
∴單調(diào)遞增,無(wú)極值點(diǎn),即時(shí),無(wú)極值點(diǎn).
2*)當(dāng),即時(shí),且.
∵,∴在上有唯一的零點(diǎn).
下面先證:.
設(shè),∴,
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,
所以,即得證,
所以,
又因?yàn)?/span>,所以,
由零點(diǎn)存在性定理可知在上存在唯一零點(diǎn),不妨設(shè),
1 | |||||
+ | 0 | - | 0 | + | |
所以函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn);
3*)當(dāng)時(shí),且,,,
又由,
∴由零點(diǎn)存在性定理可知在與上各存在唯一零點(diǎn),
同上2*)可知有兩個(gè)極值點(diǎn).
綜上所述,當(dāng)時(shí),有一個(gè)極值點(diǎn);當(dāng)且時(shí),有兩個(gè)極值點(diǎn);當(dāng)時(shí),無(wú)極值點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離與到原點(diǎn)O的距離相等,拋物線的焦點(diǎn)為F.
(1)求拋物線的方程;
(2)若A為拋物線上一點(diǎn)(異于原點(diǎn)O),點(diǎn)A處的切線交x軸于點(diǎn)B,過(guò)A作準(zhǔn)線的垂線,垂足為點(diǎn)E,試判斷四邊形AEBF的形狀,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系中,已知曲線,將曲線上的點(diǎn)向左平移一個(gè)單位,然后縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)軸伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,得到曲線,又已知直線(是參數(shù)),且直線與曲線交于兩點(diǎn).
(I)求曲線的直角坐標(biāo)方程,并說(shuō)明它是什么曲線;
(II)設(shè)定點(diǎn),求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列四個(gè)命題,其中正確的是( )
A.對(duì)分類變量與的隨機(jī)變量的觀測(cè)值來(lái)說(shuō),越小,“與有關(guān)系”可信程度越大
B.殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平帶狀區(qū)域內(nèi),帶狀區(qū)域越窄,則模型擬合精度越高
C.相關(guān)指數(shù)越小,則殘差平方和越大,模型的擬合效果越好
D.兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)無(wú)現(xiàn)金支付(支付寶、微信、銀行卡)的用戶進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,隨機(jī)選取了人(圖1),按年齡分為青年組與中老年組,如圖2.
(1)完成圖2的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為使用支付寶用戶與年齡有關(guān)系?
(2)現(xiàn)從調(diào)查的中老年組中按分層抽樣的方法選出人,再隨機(jī)抽取人贈(zèng)送禮品,試求抽取的人中恰有人為“非支付寶用戶”的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊,甲每次擊中目標(biāo)的概率為,乙每次擊中目標(biāo)的概率為。
(1)記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為,求的概率分布及數(shù)學(xué)期望;
(2)求乙至多擊目標(biāo)2次的概率;
(3)求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)圖像上的點(diǎn)處的切線方程為.
(1)若函數(shù)在時(shí)有極值,求的表達(dá)式;
(2)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】每年10月中上旬是小麥的最佳種植時(shí)間,但小麥的發(fā)芽會(huì)受到土壤、氣候等多方面因素的影響.某科技小組為了解晝夜溫差的大小與小麥發(fā)芽的多少之間的關(guān)系,在不同的溫差下統(tǒng)計(jì)了100顆小麥種子的發(fā)芽數(shù),得到了如下數(shù)據(jù):
溫差 | 8 | 10 | 11 | 12 | 13 |
發(fā)芽數(shù)(顆) | 79 | 81 | 85 | 86 | 90 |
(1)請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)的最后三組數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程;
(2)若由(1)中的線性回歸方程得到的估計(jì)值與前兩組數(shù)據(jù)的實(shí)際值誤差均不超過(guò)兩顆,則認(rèn)為線性回歸方程是可靠的,試判斷(1)中得到的線性回歸方程是否可靠;
(3)若100顆小麥種子的發(fā)芽率為顆,則記為的發(fā)芽率,當(dāng)發(fā)芽率為時(shí),平均每畝地的收益為元,某農(nóng)場(chǎng)有土地10萬(wàn)畝,小麥種植期間晝夜溫差大約為,根據(jù)(1)中得到的線性回歸方程估計(jì)該農(nóng)場(chǎng)種植小麥所獲得的收益.
附:在線性回歸方程中,.
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