Question

20．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{log_2}（{-x}），x＜0\\ x-2，x≥0\end{array}\right.$，若函數(shù)g（x）=|f（x）|-a有四個(gè)不同零點(diǎn)x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，則${x_1}{x_2}{a^2}-\frac{{{x_3}+{x_4}}}{2}a+2017$的最小值為2016．

Answer 1

分析 畫(huà)出函數(shù)y=|f（x）|的圖象，由題意得出a的取值范圍和x₁x₂，x₃+x₄的值，再利用二次函數(shù)配方法即可求出最小值．

解答 解：由題意，畫(huà)出函數(shù)y=|f（x）|的圖象，如圖所示，
又函數(shù)g（x）=a-|f（x）|有四個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
所以0＜a≤2，
且log₂（-x₁）=-log₂（-x₂）=2-x₃=x₄-2，
所以x₁x₂=1，x₃+x₄=4，
則${x_1}{x_2}{a^2}-\frac{{{x_3}+{x_4}}}{2}a+2017$
=a2-2a+2017=（a-1）2+2016，
當(dāng)a=1時(shí)，取得最小值2016．
故答案為：2016．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了二次函數(shù)最值的求法與等價(jià)轉(zhuǎn)化的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．