A. | $({\frac{{5\sqrt{3}}}{2},\frac{3}{2}})$或 $({-\frac{{5\sqrt{3}}}{2},\frac{3}{2}})$ | B. | $({\frac{5}{2},\frac{{3\sqrt{3}}}{2}})$或$({\frac{5}{2},-\frac{{3\sqrt{3}}}{2}})$ | ||
C. | (5,0)或(-5,0) | D. | (0,3)或(0,-3) |
分析 根據(jù)橢圓的方程,得|PF1|+|PF2|=2a=10,結(jié)合基本不等式可知:當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|=5時,點P到兩焦點的距離之積為m有最大值25,并且此時點P位于橢圓短軸的頂點處,可得點P坐標(biāo)為(0,3)或(0,-3).
解答 解:∵橢圓方程$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$,∴橢圓的a=5,b=3
設(shè)橢圓的左右焦點分別為F1、F2,得|PF1|+|PF2|=2a=10
∵|PF1|+|PF2|≥2$\sqrt{|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$
∴點P到兩焦點的距離之積m滿足:m=|PF1|×|PF2|≤($\frac{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|}{2}$)2=25
當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|=5時,m有最大值25
此時,點P位于橢圓短軸的頂點處,得P(0,3)或(0,-3)
故選:D
點評 本題給出橢圓的方程,求其上一點到兩個焦點距離之積的最大值,著重考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)和基本不等式求最值等知識,屬于中檔題.
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A. | $\sqrt{3}$ | B. | $\sqrt{5}$ | C. | $\sqrt{5}$或$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$ | D. | $\sqrt{3}$或$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$ |
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