Question

【題目】已知 ≤a≤1，若函數(shù)f（x）=ax2﹣2x+1在區(qū)間[1，3]上的最大值為M（a），最小值為N（a），令g（a）=M（a）﹣N（a）．
（1）求g（a）的函數(shù)表達(dá)式；
（2）判斷函數(shù)g（a）在區(qū)間[ ，1]上的單調(diào)性，并求出g（a）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=ax2﹣2x+1的對(duì)稱軸為x= ，

∵ ≤a≤1，∴1≤ ≤3，

∴f（x）在[1，3]上的最小值f（x）min=N（a）=f（ ）=1﹣ ．

∵f（x）=ax2﹣2x+1在區(qū)間[1，3]上的最大值為M（a），最小值為N（a），

∴①當(dāng)1≤ ≤2，即 ≤a≤1時(shí)，

M（a）=f（3）=9a﹣5，N（a）=f（ ）=1﹣ ．

g（a）=M（a）﹣N（a）=9a+ ﹣6．

②當(dāng)2＜ ≤3時(shí)．即 ≤a＜ 時(shí)，

M（a）=f（1）=a﹣1，N（a）=f（ ）=1﹣ ．

g（a）=M（a）﹣N（a）=a+ ﹣2．

∴g（a）=

（2）解：由（1）可知當(dāng) ≤a≤1時(shí)，g（a）=M（a）﹣N（a）=9a+ ﹣6≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a= 時(shí)取等號(hào)，所以它在[ ，1]上單調(diào)遞增；

當(dāng) ≤a＜ 時(shí)，g（a）=M（a）﹣N（a）=a+ ﹣2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)取等號(hào)，所以g（a）在[ ]單調(diào)遞減．

∴g（a）的最小值為g（ ）=9×

【解析】（1）明確f（x）=ax2﹣2x+1的對(duì)稱軸為x= ，由 ≤a≤1，知1≤ ≤3，可知f（x）在[1，3]上單調(diào)遞減，N（a）=f（ ）=1﹣ ．由a的符號(hào)進(jìn)行分類討論，能求出g（a）的解析式；（2）根據(jù)（1）的解答求g（a）的最值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識(shí)，掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較，以及對(duì)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的理解，了解當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)在上遞減，當(dāng)時(shí)，．