Question

14．已知正數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，滿足a₁a_n=S₁+S_n（n∈N^*）
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)${b_n}=\frac{n}{a_n}$，求證：b₁+b₂+…+b_n＜2．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 （1）解：當n=1時，$a_1^2={a_1}+{a_1}$，又a_n＞0，∴a₁=2；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2），∴a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項為2，公比為2．
∴a_n=2ⁿ．
（2）證明：${b_n}=\frac{n}{a_n}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
令T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
相減可得：$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$1-\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$＜2．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等比數(shù)列的定義通項公式與求和公式、“放縮”法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．