Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x，x≤0}\\{-{x}^{2}+x，x＞0}\end{array}\right.$，若函數(shù)g（x）=f（x）-a恰有三個互不相同的零點x₁，x₂，x₃，則x₁x₂x₃的取值范圍是（　�。�

• A． （-$\frac{1}{32}$，0）
• B． （-$\frac{1}{16}$，0）
• C． （0，$\frac{1}{32}$）
• D． （0，$\frac{1}{16}$）

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）的圖象判斷x₂的范圍和x₁，x₂，x₃的關(guān)系，得出x₁x₂x₃關(guān)于x₂的函數(shù)，利用單調(diào)性求出該函數(shù)的值域．

解答 解：令g（x）=f（x）-a=0得f（x）=a，
做出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

∵g（x）有三個不同的零點x₁，x₂，x₃，
則-$\frac{1}{8}$＜x₁＜0，0＜x＜$\frac{1}{2}$，x₂+x₃=1．且-2x₁=-x₂²+x₂，
∴x₁=$\frac{{{x}_{2}}^{2}-{x}_{2}}{2}$，x₃=1-x₂．
∴x₁x₂x₃=$\frac{{{x}_{2}}^{2}-{x}_{2}}{2}$•x₂•（1-x₂）=-$\frac{1}{2}$x₂⁴+x₂³-$\frac{1}{2}$x₂²，
令h（x₂）=-$\frac{1}{2}$x₂⁴+x₂³-$\frac{1}{2}$x₂²，則h′（x₂）=-2x₂³+3x₂²-x₂=-x₂（2x₂-1）（x₂-1），
∵0＜x₂＜$\frac{1}{2}$，∴h′（x₂）＜0，
∴h（x₂）在（0，$\frac{1}{2}$）上是減函數(shù)，
又h（0）=0，h（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{32}$．
∴-$\frac{1}{32}$＜h（x₂）＜0．
另解：設(shè)-2x=a，即x₁=-$\frac{1}{2}$a，（0＜a＜$\frac{1}{4}$），
-x²+x=a，可得x₂x₃=a，
則x₁x₂x₃=-$\frac{1}{2}$a²∈（-$\frac{1}{32}$，0）．
故選A．

點評 本題考查了函數(shù)零點與圖象的關(guān)系，函數(shù)值域的計算，屬于中檔題．