Question

1．已知函數(shù)g（x）=$\frac{4}{x}$-alnx（a∈R），f（x）=x²+g（x）．
（1）當(dāng)a=-2時(shí)，試求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有極值，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：求導(dǎo)g′（x），利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求得函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）方法一：求導(dǎo)f′（x），構(gòu)造輔助函數(shù)h（x）=2x³-ax-4，求導(dǎo)，根據(jù)a的取值范圍，利用函數(shù)零點(diǎn)的判斷，即可求得a的取值范圍；
方法二：求導(dǎo)，構(gòu)造輔助函數(shù)，a=2x-$\frac{4}{x}$，x∈（0，1），則y=a，h（x）=2x-$\frac{4}{x}$，x∈（0，1），則y=a與y=h（x）的圖象有交點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得a的取值范圍．

解答 解：（1）由題意可知：g（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），g（x）=2lnx+$\frac{4}{x}$，
g′（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$=$\frac{2x-4}{{x}^{2}}$，
則g′（x）=0，解得：x=2，
則x∈（2，+∞），g′（x）＜0，
x∈（0，2），g′（x）＞0，
∴函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間（0，2）；
（2）方法一：f（x）=x²+g（x）的定義域（0，+∞），求導(dǎo)f′（x）=2x-$\frac{4}{{x}^{2}}$-$\frac{a}{x}$=$\frac{2{x}^{3}-ax-4}{{x}^{2}}$，
設(shè)h（x）=2x³-ax-4，x∈（0，+∞），求導(dǎo)h′（x）=6x²-a，
①由h（0）=-4＜0，h（1）=-（2+a），
當(dāng)h（1）=-（2+a）＞0，即a＜-2時(shí)，函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)x₀，
且x₀也是f（x）的零點(diǎn)，此時(shí)f（x）在（0，1）內(nèi)有極值，
②當(dāng)a≥0時(shí)，x∈（0，1），h（x）=2（x³-2）-ax＜0，
即在區(qū)間（0，1）上，f′（x）＜0恒成立，此時(shí)函數(shù)f（x）內(nèi)無(wú)極值，
綜上所述，若f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有極值，則a的取值范圍為（-∞，-2）．
方法二：由f（x）=x²+$\frac{4}{x}$-alnx，x∈（0，1），求導(dǎo)，f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-ax-4}{{x}^{2}}$，x∈（0，1），
令f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-ax-4}{{x}^{2}}$=0，則2x²-ax-4=0，
則2x²-ax-4=0，則△=a²+8＞0，
由2x²-ax-4=0，則a=2x-$\frac{4}{x}$，x∈（0，1），
由y=a，h（x）=2x-$\frac{4}{x}$，x∈（0，1），則y=a與y=h（x）的圖象有交點(diǎn)，
由y=h（x）在（0，1）上遞增且增函數(shù)從-∞增至f（-1）=-2，
∴a＜-2，
∴a的取值范圍（-∞，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．