Question

16．雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸，離心率e=$\sqrt{2}$，C與拋物線y²=16x的準(zhǔn)線交于A，B點(diǎn)，|AB|=4$\sqrt{3}$，則C的實(shí)軸長(zhǎng)為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 4
• D． 8

Answer 1

分析 設(shè)出雙曲線方程，求出拋物線的準(zhǔn)線方程，利用|AB|=4 $\sqrt{3}$，即可求得結(jié)論．

解答 解：雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸，離心率e=$\sqrt{2}$，
設(shè)等軸雙曲線C的方程為x²-y²=λ．（1）
∵拋物線y²=16x，2p=16，p=8，∴$\frac{P}{2}$=4．
∴拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-4．
C與拋物線y²=16x的準(zhǔn)線交于A，B點(diǎn)，|AB|=4$\sqrt{3}$，
設(shè)等軸雙曲線與拋物線的準(zhǔn)線x=-4的兩個(gè)交點(diǎn)A（-4，2$\sqrt{3}$），B（-4，-2$\sqrt{3}$），
代入（1），得（-4）²-（2$\sqrt{3}$）²=λ，∴λ=4．
∴等軸雙曲線C的方程為x²-y²=4，即$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
∴C的實(shí)軸長(zhǎng)為4．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線、雙曲線的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．