Question

6．直角坐標(biāo)系xOy中，l是過定點(diǎn)M（1，2）且傾斜角為α的直線，在以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ．
（1）請(qǐng)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線l與曲線C有兩個(gè)不同交點(diǎn)A，B，Q為弦AB的中點(diǎn)，求|MQ|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ，即ρ²=2ρsinθ，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式可得直角坐標(biāo)方程．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入圓C的方程可得：t²+2t（cosα+sinα）+1=0．利用|MQ|=$|\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}|$與和差公式即可得出．

解答 解：（1）l是過定點(diǎn)M（1，2）且傾斜角為α的直線，可得參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ，即ρ²=2ρsinθ，可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²=2y，配方為x²+（y-1）²=1．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入圓C的方程可得：t²+2t（cosα+sinα）+1=0．
∴t₁+t₂=-2（cosα+sinα）．
∴|MQ|=$|\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}|$=|cosα+sinα|=$|\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）|$∈$[0，\sqrt{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程及其應(yīng)用、和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．