Question

17．如圖所示，已知圓O的圓心為O，E為圓O上的一點，P為圓O外的一點，PAB為圓O的一條割線，連接PE，OE，OB，BE，AE．得OE⊥PE，且PC交BE、AE于C、D，∠APC=∠EPC．
（1）求證：$\frac{PA}{PE}=\frac{ED}{BC}$；
（2）若∠ADC=110°，求∠CED的值．

Answer 1

分析 （1）證明△PED∽△PBC，所以$\frac{PE}{PB}=\frac{ED}{BC}$．即PE•BC=PB•ED，利用切割線定理可得PE²=PA•PB，即可證明：$\frac{PA}{PE}=\frac{ED}{BC}$；
（2）若∠ADC=110°，證明∠EDC=∠ECD，即可求∠CED的值．

解答 （1）證明：因為∠PEO=90°，E在圓O上，故PE為圓O的一條切線，
由弦切角性質(zhì)可知∠PEA=∠EBA，
又∠EPC=∠APC，故△PED∽△PBC．
所以$\frac{PE}{PB}=\frac{ED}{BC}$．即PE•BC=PB•ED． ①
又由切割線定理可知，PE²=PA•PB． ②
聯(lián)立①②，得PA•BC=PE•ED，即$\frac{PA}{PE}=\frac{ED}{BC}$；
（2）解：由∠EPC=∠APC，∠PEA=∠EBA，可得∠EDC=∠ECD．
又∠ADC=110°，故∠EDC=70°=∠ECD，
所以∠CED=180°-2×70°=40°．

點評 本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查切割線定理的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．