Question

14．如圖，在空間四邊形ABCD中，E是線段AB的中點(diǎn)．
（1）若CF=2FD，連接EF，CE，AF，BF化簡(jiǎn)下列各式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)得到的向量：
①$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{BD}$；
②$\overrightarrow{AF}$-$\overrightarrow{BF}$-$\overrightarrow{AC}$；
③$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CD}$；
（2）若F為CD的中點(diǎn)，求證：$\overrightarrow{EF}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{BC}$）．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的加減運(yùn)算的幾何意義化簡(jiǎn)；
（2）取BD中點(diǎn)G，利用中位線定理及三角形法則證明．

解答 解：（1）①$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}$；②$\overrightarrow{AF}$-$\overrightarrow{BF}$-$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FB}-\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{CB}$；③$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}$=$\overrightarrow{EF}$．
（2）取BD中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，則$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GF}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的線性運(yùn)算及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．