Question

【題目】已知點(diǎn)與點(diǎn)的距離比它的直線的距離小2．

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）是點(diǎn)軌跡上互相垂直的兩條弦，問：直線是否經(jīng)過軸上一定點(diǎn)，若經(jīng)過，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過，說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：（1）利用拋物線的定義進(jìn)行求解；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線和拋物線的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和平面向量的數(shù)量積為0進(jìn)行求解.

試題解析：（1）由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)到的距離比它到直線的距離小2，即動(dòng)點(diǎn)到的距離與它到直線的距離相等，由拋物線定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的拋物線，則點(diǎn)的軌跡方程為；

（2）法一：由題意知直線的斜率顯然不能為0，

設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程

，消去，可得，

即，

， ，

由題意知，即，則，

∴， ∵，∴，

∴直線的方程為，

∴直線過定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為；

法二：假設(shè)存在定點(diǎn)，設(shè)定點(diǎn)，

∵， ∴， ∴，

又∵在拋物線上，即代入上式，可得， ∴，

又∵三點(diǎn)共線， ∴，∴，

∴假設(shè)成立，直線經(jīng)過軸的定點(diǎn)，坐標(biāo)為．