Question

8．（Ⅰ）已知c＞0，關(guān)于x的不等式：x+|x-2c|≥2的解集為R．
求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（Ⅱ）若c的最小值為m，又p、q、r是正實(shí)數(shù)，且滿足p+q+r=3m，求證：p²+q²+r²≥3．

Answer 1

分析 （I）由題意可得函數(shù)y=x+|x-2c|在R上恒大于或等于2，求得x+|x-2c|的最小值，解不等式即可得到c的范圍；
（Ⅱ）由（1）知p+q+r=3，運(yùn)用柯西不等式，可得（p²+q²+r²）（1²+1²+1²）≥（p×1+q×1+r×1）²，即可得證．

解答 解：（I）不等式x+|x-2c|≥2的解集為R
?函數(shù)y=x+|x-2c|在R上恒大于或等于2，
∵x+|x-2c|=$\left\{\begin{array}{l}{2x-2c，x≥2c}\\{2c，x＜2c}\end{array}\right.$，
∴函數(shù)y=x+|x-2c|，在R上的最小值為2c，
∴2c≥2?c≥1．
所以實(shí)數(shù)c的取值范圍為[1，+∞）；
（Ⅱ）證明：由（1）知p+q+r=3，又p，q，r是正實(shí)數(shù)，
所以（p²+q²+r²）（1²+1²+1²）≥（p×1+q×1+r×1）²=（p+q+r）²=9，
即p²+q²+r²≥3．當(dāng)且僅當(dāng)p=q=r=1等號(hào)成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用函數(shù)的最值的求法，考查不等式的證明，注意運(yùn)用柯西不等式，考查運(yùn)算和推理能力，屬于中檔題．