Question

16．已知函數(shù)f（x）=|2x+1|．
（1）解不等式f（x）-f（x-1）≤1；
（2）若a＞0，求證：f（ax）-af（x）≤f（-$\frac{1}{2}$a）．

Answer 1

分析 （1）運用去絕對值的方法，分段討論，求得不等式的解，求并集即可得到；
（2）求出不等式的左邊，運用絕對值不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（1）f（x）-f（x-1）≤1，即為
|2x+1|-|2x-1|≤1，
由|2x+1|-|2x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x-1-（1-2x）=-2，x≤-\frac{1}{2}}\\{2x+1-（1-2x）=4x，-\frac{1}{2}＜x＜\frac{1}{2}}\\{2x+1-（2x-1）=2，x≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
可得當x≤-$\frac{1}{2}$時，-2＜1，解得x≤-$\frac{1}{2}$；
當-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$時，4x≤1，解得-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{4}$；
當x≥$\frac{1}{2}$時，2＜1不成立．
綜上可得不等式的解集為{x|x≤$\frac{1}{4}$}．
（2）證明：a＞0，f（ax）-af（x）=|2ax+1|-a|2x+1|
=|2ax+1|-|2ax+a|≤|（2ax+1）-（2ax+a）|=|1-a|
=f（-$\frac{1}{2}$a）．
故原不等式成立．

點評 本題考查不等式的解法，注意運用分類討論的思想方法，考查不等式的證明，注意運用絕對值不等式的性質(zhì)，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．