Question

16．已知非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a}|=2|{\overrightarrow b}|$，$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}|$，則$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $-\frac{1}{3}$
• D． $-\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 由題意利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，求得$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角的余弦值．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角的余弦值為cosθ，θ為$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角，
∵$|{\overrightarrow a}|=2|{\overrightarrow b}|$，$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}|$，∴${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+4${\overrightarrow}^{2}$+4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，即 3${\overrightarrow}^{2}$=-6$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，
即  ${\overrightarrow}^{2}$=-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，即 ${\overrightarrow}^{2}$=-4|$\overrightarrow$|•|$\overrightarrow$|•cosθ，∴cosθ=-$\frac{1}{4}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查用兩個(gè)向量的數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，屬于基礎(chǔ)題．