Question

13．若?x₀∈（0，+∞），不等式ax-lnx＜0成立，則a的取值范圍是（　　）

• A． $（-∞，\frac{1}{e}]$
• B． （-∞，e]
• C． $（-∞，\frac{1}{e}）$
• D． （-∞，e）

Answer 1

分析 若?x₀∈（0，+∞），不等式ax-lnx＜0成立，則?x₀∈（0，+∞），不等式a＜$\frac{lnx}{x}$成立，令f（x）=$\frac{lnx}{x}$，則a＜f（x）_max，利用導(dǎo)數(shù)法，求出函數(shù)的最大值，可得答案．

解答 解：若?x₀∈（0，+∞），不等式ax-lnx＜0成立，
則?x₀∈（0，+∞），不等式a＜$\frac{lnx}{x}$成立，
令f（x）=$\frac{lnx}{x}$，則a＜f（x）_max，
∵f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
則x∈（0，e）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）=$\frac{lnx}{x}$為增函數(shù)，
x∈（e，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）=$\frac{lnx}{x}$為減函數(shù)，
故x=e時(shí)，f（x）_max=$\frac{1}{e}$，
故a的取值范圍是$（-∞，\frac{1}{e}）$，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了存在性問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，難度中檔．