Question

2．如圖，圓O與x軸的正半軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn)C、B在圓O上，且點(diǎn)C位于第一象限，點(diǎn)B的坐標(biāo)為$（\frac{4}{5}，-\frac{3}{5}）$，∠AOC=α，若|BC|=1，則$\sqrt{3}{cos^2}\frac{α}{2}-sin\frac{α}{2}cos\frac{α}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的值為$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)三角函數(shù)的定義，結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論．

解答 解：∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為$（\frac{4}{5}，-\frac{3}{5}）$，設(shè)∠A0B=θ
∴sin（2π-θ）=$\frac{3}{5}$，cos（2π-θ）=$\frac{4}{5}$，
即sinθ=$\frac{3}{5}$，cosθ=$\frac{4}{5}$，
∵∠AOC=α，若|BC|=1，∴θ+α=$\frac{π}{3}$，
則α=$\frac{π}{3}$-θ，
則$\sqrt{3}{cos^2}\frac{α}{2}-sin\frac{α}{2}cos\frac{α}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα-$\frac{1}{2}$sinα=cos（α+$\frac{π}{6}$）=cos（$\frac{π}{2}$-θ）=sinθ=$\frac{3}{5}$，
故答案為：$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，利用三角函數(shù)的定義以及三角函數(shù)的輔助角公式是解決本題的關(guān)鍵．