Question

設向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx），x∈R，函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期與最大值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間和對稱軸．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,平面向量數(shù)量積的運算

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應用

分析：（Ⅰ）由于向量的數(shù)量積的坐標公式和二倍角公式以及兩角和的正弦公式，化簡f（x），再由周期公式和正弦函數(shù)的值域，即可得到所求值；
（Ⅱ）由正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和對稱軸，即可得到所求．

解答： 解：（Ⅰ）由于向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx），x∈R，
函數(shù)f（x）=

a

•

b

=sinxcosx+cos2x=

1

2

sin2x+

1

2

（1+cos2x）=

1

2

（sin2x+cos2x）+

1

2

=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，
則函數(shù)f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π，
當sin（2x+

π

4

）=1時，f（x）取得最大值為

1+ 2

2

；
（Ⅱ）當2x+

π

4

∈[-

π

2

+2kπ，2kπ+

π

2

]，f（x）單調(diào)遞增，即x∈[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z；
當2x+

π

4

=kπ+

π

2

時，即x=

kπ

2

+

π

8

，因此f（x）的對稱軸為x=

kπ

2

+

π

8

，k∈Z．

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標公式，考查三角函數(shù)的化簡，求最值，求周期，以及單調(diào)區(qū)間和對稱性，屬于中檔題．