Question

19．給出定義：若m-$\frac{1}{2}$＜x≤m+$\frac{1}{2}$（其中m為整數(shù)），則m叫做離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}，即{x}=m．在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)f（x）=x-{x}的三個(gè)判斷：
①y=f（x）的定義域是R，值域是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]；  
②點(diǎn)（k，0）是y=f（x）的圖象的對(duì)稱中心，其中k∈Z；
③函數(shù)y=f（x）在（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上是增函數(shù)．
則上述判斷中所有正確的序號(hào)是（　�。�

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 依據(jù)函數(shù)定義，得到f（x）=x-{x}∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，再對(duì)三個(gè)命題逐個(gè)驗(yàn)證后，即可得到正確結(jié)論．

解答 解：在①中，由題意知，{x}-$\frac{1}{2}$＜x≤{x}+$\frac{1}{2}$，
則得到f（x）=x-{x}∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，則命題①為真命題；
在②中，由于k∈Z時(shí)，f（k）=k-{k}=k-k=0，
但由于f（x）∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，故函數(shù)不是中心對(duì)稱圖形，故命題②為假命題；
在③中，由于{x}-$\frac{1}{2}$＜x≤{x}+$\frac{1}{2}$，則得到f（x）=x-{x}為分段函數(shù)，
且在（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上為增函數(shù)，故命題③為真命題．
故答案為 ①③．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題真假的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．