【題目】已知拋物線, 是焦點,直線是經(jīng)過點的任意直線.
(Ⅰ)若直線與拋物線交于、兩點,且(是坐標原點, 是垂足),求動點的軌跡方程;
(Ⅱ)若、兩點在拋物線上,且滿足,求證:直線必過定點,并求出定點的坐標.
【答案】所求動點M的軌跡方程是 ().
直線CD的方程可化為. 直線CD恒過定點,且定點坐標為(2,0).
【解析】(本題滿分12分)本題共有2個小題,第1小題滿分5分,第2小題滿分7分.
解 (1) 設動點M的坐標為. …………………1分
∵拋物線的焦點是,直線l恒過點F,且與拋物線交于兩點A、B,
又,
∴. …………………3分
∴,化簡,得. …………………5分
又當M與原點重合時,直線l與x軸重合,故.
∴所求動點M的軌跡方程是 ().
(2) 設點C、D的坐標為、. …………………………6分
∵C、D在拋物線上,
∴, ,即, .
又,
∴. ………8分
∵點C、D的坐標為、,
∴直線CD的一個法向量是,可得直線CD的方程為:
,化簡,得
,進一步用,有
.
又拋物線上任兩點的縱坐標都不相等,即.
∴直線CD的方程可化為. ………………………10分
∴直線CD恒過定點,且定點坐標為(2,0). ………………………12分
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某科研小組研究發(fā)現(xiàn):一棵水蜜桃樹的產(chǎn)量(單位:百千克)與肥料費用(單位:百元)滿足如下關系:,且投入的肥料費用不超過5百元.此外,還需要投入其他成本(如施肥的人工費等)百元.已知這種水蜜桃的市場售價為16元/千克(即16百元/百千克),且市場需求始終供不應求.記該棵水蜜桃樹獲得的利潤為(單位:百元).
(1)求利潤函數(shù)的函數(shù)關系式,并寫出定義域;
(2)當投入的肥料費用為多少時,該水蜜桃樹獲得的利潤最大?最大利潤是多少?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了對某課題進行研究,用分層抽樣方法從三所高校的相關人員中,抽取若干人組成研究小組,有關數(shù)據(jù)見下表(單位:人)
高校 | 相關人數(shù) | 抽取人數(shù) |
A | 18 | |
B | 36 | 2 |
C | 54 |
(Ⅰ)求,;
(Ⅱ)若從高校抽取的人中選2人作專題發(fā)言,求這二人都來自高校的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】《中國好聲音(The Voice of China)》是由浙江衛(wèi)視聯(lián)合星空傳媒旗下燦星制作強力打造的大型勵志專業(yè)音樂評論節(jié)目,于2012年7月13日正式在浙江衛(wèi)視播出.每期節(jié)目有四位導師參加.導師背對歌手,當每位參賽選手演唱完之前有導師為其轉(zhuǎn)身,則該選手可以選擇加入為其轉(zhuǎn)身的導師的團隊中接受指導訓練.已知某期《中國好聲音》中,6位選手演唱完后,四位導師為其轉(zhuǎn)身的情況如下表所示:
現(xiàn)從這6位選手中隨機抽取兩人考查他們演唱完后導師的轉(zhuǎn)身情況.
(1)求選出的兩人導師為其轉(zhuǎn)身的人數(shù)和為4的概率;
(2)記選出的2人導師為其轉(zhuǎn)身的人數(shù)之和為,求的分布列及數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線, 是焦點,直線是經(jīng)過點的任意直線.
(Ⅰ)若直線與拋物線交于、兩點,且(是坐標原點, 是垂足),求動點的軌跡方程;
(Ⅱ)若、兩點在拋物線上,且滿足,求證:直線必過定點,并求出定點的坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線: 的焦點為,過點的直線與相交于、兩點,點關于軸的對稱點為.
(Ⅰ)判斷點是否在直線上,并給出證明;
(Ⅱ)設,求的內(nèi)切圓的方程.
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