Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x+1}$+$\frac{a}{2x}$，g（x）=f（x）+$\sqrt{x}$，若x=1是函數(shù)g（x）的極值點
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若f（x）＞$\frac{n}{x}$恒成立，求整數(shù)n的最大值．

Answer 1

分析 （1）化簡g（x）=$\frac{lnx}{x+1}$+$\frac{a}{2x}$+$\sqrt{x}$，從而求導g′（x）=$\frac{\frac{1}{x}（x+1）-lnx}{（x+1）^{2}}$-$\frac{a}{2{x}^{2}}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，從而令g′（1）=$\frac{1}{2}$-$\frac{a}{2}$+$\frac{1}{2}$=0即可解得；
（2）化簡可得$\frac{lnx}{x+1}$+$\frac{1}{x}$＞$\frac{n}{x}$，從而可得n＜$\frac{xlnx}{x+1}+1$=$\frac{xlnx+x+1}{x+1}$，可判斷$\frac{xlnx}{x+1}+1$＞0且$\frac{1ln1}{1+1}$+1=1，從而求得．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{lnx}{x+1}$+$\frac{a}{2x}$，
∴g（x）=$\frac{lnx}{x+1}$+$\frac{a}{2x}$+$\sqrt{x}$，
∴g′（x）=$\frac{\frac{1}{x}（x+1）-lnx}{（x+1）^{2}}$-$\frac{a}{2{x}^{2}}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
∵x=1是函數(shù)g（x）的極值點，
∴g′（1）=$\frac{1}{2}$-$\frac{a}{2}$+$\frac{1}{2}$=0，
解得，a=2；
經(jīng)檢驗，g（x）在x=1處有極小值；
（2）由（1）知，f（x）=$\frac{lnx}{x+1}$+$\frac{1}{x}$，又∵f（x）＞$\frac{n}{x}$，
∴$\frac{lnx}{x+1}$+$\frac{1}{x}$＞$\frac{n}{x}$，
即n＜$\frac{xlnx}{x+1}+1$=$\frac{xlnx+x+1}{x+1}$，
令m（x）=xlnx+x+1，
則m′（x）=lnx+1+1，
故m（x）在（0，e^-2）上是減函數(shù)，在（e^-2，+∞）上是增函數(shù)，
故m（x）＞m（e^-2）=1-e^-2＞0，
故$\frac{xlnx}{x+1}+1$＞0恒成立；
又∵$\frac{1•ln1}{1+1}$+1=1，
∴n＜1；
故整數(shù)n的最大值為0．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用，同時考查了恒成立問題，關(guān)鍵在于判斷$\frac{xlnx}{x+1}+1$＞0且$\frac{1ln1}{1+1}$+1=1．